Данные характеризующие прибыль торговой компании «Всё для себя» за первые 10 месяцев 2003 года, даны в следующей таблице:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

363 423 413 473 488 473 528 571 541 561

1.

2.

На основе анализа поля рассеивания выдвигаем гипотезу о том, что зависимость прибыли от месяца описывается линейной моделью вида:

Y= b0 + b1x + е,

где b0 и b1 – неизвестные коэффициенты, а е – случайные отклонения.

3. Метод наименьших квадратов заключается в выборе значений b0 и b1, для которых сумма квадратов ?е2 становится минимальной. Оценки этих коэффициентов можно искать по следующим формулам:

b0 =

b1=

После подстановки соответствующих значений в формулы получаем оценки коэффициентов нашей модели:

Y= 365,13 + 21,5x

4.

5. Проверим гипотезу об отсутствии линейного тренда – Н0: b1 = 0.

F- статистика для проверки качества оценивания регрессии записывается как отношение объясненной суммы квадратов ESS (в расчете на одну независимую переменную) к остаточной сумме квадратов RSS (в расчете на одну степень свободы):

F= или F= , R2=

Где k – число независимых переменных.

R2 - это отношение объясненной уравнением дисперсии ESS, к общей дисперсии TSS.

F= 72,76; R2=0,90

Fкрит= 5,32 при 5% уровне значимости

Т.к. F>Fкрит, значит, мы отвергаем нулевую гипотезу. Имеющееся объяснение поведения величины y лучше, чем можно было бы получить случайно.

6. Выборочный коэффициент корреляции для двух переменных x и y:

rx,y=

Нулевая гипотеза – зависимости нет. Для проверки гипотетической линейной зависимости между x и y, применим t- тест.

Вычислим t – статистику по исходным данным:

t=

t=8,53.

Для уровня значимости 5% t с (n-2) степенями свободы критическое значение составляет tкрит=2,3. Так как t>tкрит мы отклоняем нулевую гипотезу.

7. Оценка дисперсии случайной составляющей модели определяется как:

Несмещенная оценка дисперсии случайной составляющей модели определяется как:

=524,25

8. Проверим гипотезу: b0=0и b1=0 с помощью t- критерия. Гипотеза отвергается с вероятностью 95%, если

с.о.(b0)= с.о.(b1)=

с.о.(b0)=15,64; с.о.(b1)=2,5.

23,34>2.3; 8,5>2.3, следовательно отвергаем нулевую гипотезу.

9. Доверительные интервалы для b0 и b1:

bi c.о.(bi)*tn-k-1;5

b0 (329,15;401,1)

b1 (15,7;27,3)

10. Доверительный интервал для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели:

принадлежит интервалу (247,87;1259,46)

11. Линейная регрессия представляет собой линейную функцию между условным математическим ожиданием M(Y?X=xi) зависимой переменной Y и одной объясняющей переменной X (xi – значения независимой переменной в i-ом наблюдении):

M(Y?X=xi)= b0 + b1*xi

Эмпирическое уравнение регрессии:

=b0 + b1*xi

- Оценка M(Y? X=xi )

Доверительный интервал для M(Y? X=xp )= b0 + b1*xp имеет вид:

Границы доверительных интервалов для x=11 и x=12(5% уровень значимости):

Прогноз M(Y/x)

Х 11 12

Верхняя граница 637,64 664,37

Нижняя граница 565,69 560,46

12. Сделаем прогноз прибыли с помощью линейной регрессии.

Доверительный интервал для прогнозируемого значения находится по формуле:

Yn+T Sy *tn-2; (1-a)/2

Sy=

Таким образом, интервал (537,88;665,44) для х=11 и интервал (556,30;690,03) для х=12, определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 5% точек наблюдений. Данные интервалы шире соответствующих интервалов для условного математического ожидания.

С ростом х доверительные интервалы расширяются, поэтому необходимо достаточно осторожно экстраполировать полученные результаты на прогнозные области.

Примечаний нет.