|
Тема 1. Введение в дискретную математику.
Дискретная математика ее назначение и взаимосвязь с другими разделами математики. Основные этапы развития дискретной математики.
Дискретная математика — область математики, занимающаяся изучением дискретных структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в её приложениях.
Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения. К числу таких структур могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы, машины Тьюринга и так далее. Это примеры структур конечного (финитного) характера. Раздел дискретной математики, изучающей их, называется конечной математикой. Иногда само это понятие расширяют до дискретной математики. Помимо указанных конечных структур, дискретная математика изучает некоторые алгебраические системы, бесконечные графы, вычислительные схемы определённого вида, клеточные автоматы и т. д. В качестве синонима иногда употребляется термин «дискретный анализ».
Разделы дискретной математики: наивная теория множеств; математическая логика; математическая кибернетика; теория функциональных систем; общая алгебра; комбинаторика (отдельные разделы); теория графов; машинная арифметика; теория алгоритмов; теория игр; теория кодирования; теория конечных автоматов; теория формальных грамматик; вычислительная геометрия; теория булевых функций; логическое программирование; функциональное программирование; ?-исчисление; булева алгебра; комбинаторная логика; математическая лингвистика; теория искусственного интеллекта; прямоугольная система линейных алгебраических уравнений.
Многообразие моделей и образов, используемых в различных системах, является базисом дискретной математики. Построение данных моделей и образов, а также их исследование составляют суть методов дискретной математики. В то же время многие методы решения тех или иных задач дискретной математики достаточно просто перекладываются на алгоритмы. Данный подход позволяет рассматривать каждый математический метод решения какой-либо задачи как последовательность определенных действий достаточно легко алгоритмизируемых.
Дискретная математика базируется на основных понятиях и методах теории множеств, развивает их и является отправным пунктом для изучения основ вычислительной техники, языков программирования, дисциплин математического моделирования.
Математическое моделирование является мощным средством научного исследования в естественных науках, а в последнее время интенсивно проникает и в гуманитарные науки. Кроме того, математические модели широко используются при решении различного рода задач. Среди математических моделей широкое распространение получили дискретные модели. Они применяются в науке, технике, экономике, военном деле и т. д. Как отмечает К. А. Рыбников, после Второй мировой войны «крупнейшие военные и промышленные организации США, их научно-технические подразделения разворачивают исследования комбинаторного характера или активно им содействуют. А в пятидесятые годы, в их конце, в математической научной литературе произошел настоящий комбинаторный взрыв». Это связано с тем, что такие модели имеют большое число интерпретаций, и многочисленные и разнообразные дискретные задачи, как правило, могут быть описаны немногочисленными комбинаторными моделями. В свою очередь, их исследование и решение прикладных дискретных задач приводило к развитию теоретической математики и существенным продвижениям в ней. Дискретные математические модели тесно связаны с дискретными способами обработки информации, которые стали преобладающими в кибернетике. Для этого имеется много причин. Дискретный способ хранения информации очень экономный, что позволяет использовать небольшое число необходимых для хранения элементов. Информация, обрабатываемая и передаваемая в дискретном виде, устойчива относительно помех. Поэтому в кибернетике распространены дискретные управляющие системы, параметры которых задаются как дискретные величины. Даже в тех случаях, когда состояние элементов системы определяется непрерывными функциями, для анализа выбираются мгновенные состояния, а для преобразований - мгновенные значения. Еще одной причиной распространения дискретных математических моделей является интенсивное развитие вычислительной техники, поскольку только она может обеспечить их изучение в связи с большим объемом вычислительной работы, необходимой для этого. Кроме того, ЭВМ, основанные на принципах дискретной математики, оказались лучше приспособленными для решения прикладных задач, чем аналоговые ЭВМ, основанные на принципах непрерывного преобразования информации. Цифровые ЭВМ развивались быстрее и интенсивнее аналоговых.
Широкое использование для исследования сложных объектов и ситуаций моделей дискретной математики требует глубокого ознакомления с методикой их построения, изучения методов дискретной математики и способов ее применения для решения практических задач студентами естественных, технических и экономических специальностей.
Историю математики можно разделить на четыре этапа. Первый этап: с начала зарождения математики до VI в. до н. э. Математика является дискретной, ее знания представляют собой набор конкретных правил и служат для решения практических задач. Второй этап: с VI в. до н. э. до середины XVII в. Функциональные зависимости практически не изучаются. Предельные переходы, при которых происходит замена непрерывных функций их дискретными аналогами, нестрогие. Непрерывность рассматривается на интуитивном уровне. Третий этап: с середины XVII в. до середины XX в. Рассматриваемые в это время функции являются непрерывными, но строгое определение непрерывной функции дается только в начале ХIХ в. Создается теория пределов. В связи с потребностями практики появляются новые дискретные математические дисциплины. Четвертый этап: с середины XX в. по настоящее время. Для него характерно возросшее значение дискретной математики, обусловленное широким распространением кибернетических систем и появлением мощной вычислительной техники, способной их исследовать. На всех этапах своего развития непрерывные и дискретные разделы математики тесно взаимодействуют и обогащают друг друга.
Тема 2. Теория множеств
Вариант №1
1. Какое множество называется пустым?
Определение. Пустое множество ? множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом ?.
Пример. Множество решений системы неравенств х < 5 и х > 6 ? пустое множество.
2. Даны два множества А= {простые числа < 20} и B= {нечетные числа <20}.
Найти следующие множества:
а) А?В; б) А\В; в) В\А; г) А?В.
Простые числа <20;
3. Из 20 человек двое изучали только английский язык, трое только немецкий, шестеро – только французский. Никто не изучал трёх языков. Один изучал немецкий и английский, трое французский и английский. Сколько человек изучало французский и немецкий языки?
Французский изучало 6 человек.
Французский и английский изучало - 3 человека
6+3=9
Английский язык изучало 2 человека
9+2=11
Немецкий и английский 1
11+1=12
Только немецкий 3
12+3=15
Следовательно, немецкий и французский изучало 20-15=5 человек
4. С помощью диаграмм Эйлера-Венна покажите следующее соотношение:
Тема 3. Векторная алгебра.
Вариант № 1
Четырёхугольник АВСD есть ромб. Равны ли векторы и , векторы и , векторы и , векторы и , векторы и ?
Длины векторов равны, так как у ромба все стороны равны а направление векторов разные.
Длины векторов равны, так как у ромба все стороны равны и направления векторов одинаковые.
Длины векторов равны, так как у ромба все стороны равны и направления векторов одинаковые.
значит, векторы не равны, векторы имеют противоположные направления
значит, векторы не равны, векторы имеют противоположные направления
Тема 4. Матрицы
Вариант № 1
1) Дано:
А= и В=
Найти: АВ-ВА
2)Вычислить определитель матрицы С:
|
На уровень вверх
Купить