Вариант 13

Задание 1. Вычислить и

Решение.

Произведение не определено, так как количество столбцов матрицы равно 2, не совпадает с количеством строк матрицы равным 3.

Найдем произведение:

=

Ответ: .

Задание 2. Вычислить определитель матрицы А и матрицу .

Решение.

Вычислим определитель: .

Найдем матрицу по формуле

= , где = 5, – алгебраическое дополнение к элементу.

=

=

=

=

Обратная матрица имеет вид: = . Проверим правильность нахождения обратной матрицы:

= = = = .

Задание 3. Найти множество решений системы уравнений.

Решение.

Докажем совместность системы. По теореме Кронекера-Капелли если ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система совместна. Найдем ранг расширенной матрицы. Сведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Первую и вторую строки поменяем местами.

Первую строку матрицы умножим на (-1) и прибавим к третьей. Далее вторую строку матрицы прибавим к третьей, умноженной на 2.

.

Получили ступенчатую матрицу. и равен количеству неизвестных, следовательно, система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение.

Решим системе методом Гаусса.

Запишем систему линейных уравнений полученную после преобразования матрицы .

.

решение системы.

Задание 4. Установить, является ли квадратичная форма положительно определенной, отрицательно определенно или знаконеопределенной.

Решение.

Приведем данную квадратичную форму к каноническому виду.

Воспользуемся методом Якоби.

Найдем главные миноры матричной записи квадратичной формы:

, ,

Канонический вид:

Имеем знаконеопределенную квадратичную форму

Примечаний нет.