|
Оценивание параметров функций первого класса – экспоненциальные кривые
Одним из основных методов, используемых в изыскательском прогнозировании, является экстраполяция временных рядов - статистических данных об интересующем нас объекте.
В основе экстраполяционных методов предположение о том, что закон роста, имевший место в прошлом, сохранится и в будущем.
При этом, естественно, должны быть сделаны соответствующие поправки с учетом возможного эффекта насыщения и стадий жизненного цикла объекта.
Экспоненциальные кривые роста предполагают, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых:
- простая экспонента, которая представляется в виде функции , где а и b — положительные числа, при этом если b>1, то функция возрастает с ростом времени t, если b<1 — функция убывает.
- модифицированная экспонента имеет вид , где постоянные величины: а<0, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k.
Для моделирования процессов, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу, используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.
К числу кривых достаточно адекватно отражающих изменение прогнозируемых параметров в ряде распространенных ситуаций является экспонента, т.е. функция вида:
y=a * ebt
где t - время, a и b - параметры экспоненциальной кривой.
К числу наиболее известных экспоненциальных кривых, используемых при прогнозировании можно отнести кривую Перла, выведенную на основании обширных исследований в области роста организмов и популяций, и имеющую вид:
y=L / (1+A * e-bt)
где L - верхний предел переменной y.
Не менее распространена кривая Гомперца, выведенная на основании результатов исследований в области распределения дохода и уровня смертности (для страховых компаний), имеющая вид:
y=L * e-be
где k - также параметр экспоненты.
Уравнение кривой Перла имеет вид
В этом уравнении L являетс
|
На уровень вверх
Купить