|
Для описания физической реальности математикам стало не доставать основных типов чисел (целые, рациональные, иррациональные, комплексные, …). Чтобы иметь возможность для некоторых величин указывать не только их числовое значение, но и направление, было введено понятие вектора как направленного отрезка. Следовательно, вектор - абстракция математических объектов, характеризующихся модулем и направлением. Примерами физических векторных величин являются перемещение, скорость, ускорение, напряженность электрического ил магнитного поля.
Сам термин "вектор" (от лат. vector - несущий) впервые появился у Гамильтона в 1845г. В работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат термины "скаляр", "скалярное произведение", "векторное произведение".
После введения понятия вектора были более детально разработаны правила операций над векторами, что привело к появлению сначала векторной алгебры, а затем и векторного анализа. Векторная алгебра изучает простейшие операции над векторами. Она стала своеобразным языком аналитической геометрии. Векторный анализ изучает векторные и скалярные поля. Основными понятиями векторного анализа являются "градиент", "дивергенция", "ротор" ("вихрь") и "лапласиан".
Многие результаты векторного исчисления получены Германом Грассманом и английским математиком Уильямом Клиффордом. Окончательный вид векторная алгебра и векторный анализ приобрели в трудах американского физика и математика Джозайн Уилларда Гиббса, который в 1901г. Опубликовал обширный учебник по векторному анализу.
Следует отметить, что в ясно очерченном виде векторная алгебра появилась примерно на 30 лет позже первых работ по теории кватернионов (это числа, каждое из которых определяет величину и направление в пространстве). Гиббс показал связь векторной алгебры с теорией кватернионов и алгеброй Грассмана. Он был большим энтузиастом распространения векторного исчисления в различных областях точных наук.
Понятие вектора может быть введено аксиоматически, тогда вектор будет пониматься как элемент векторного пространства. Развитием понятия "вектор" можно считать понятие "тензор".
Тензорное исчисление - раздел математики, изучающий тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление разделяется на тензорную алгебру, входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру, и тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей. Тензорное исчисление является важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии. В этой связи оно впервые систематически было развито Дж.Риччи и Т.Леви-Чивитой, его часто называли "исчислением Риччи".
Термин "тензор" еще с середины XIXв. употребляется в механике при описании упругих деформаций тел. С начала XX в. аппарат тензорного исчисления систематически используется в релятивистской физике.
Изучение векторного анализа сводится к изучению дифференциального и интегрального исчисления, включающего криволинейные и поверхностные интегралы, их основные свойства и понятия; а также теорию поля, которая является обобщением основных понятий векторного анализа.
Теория поля - крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные векторные и тензорные поля. Теория поля устанавливает и исследует связи между величинами, характеризующими поле.
Следовательно, мы можем выделить основную цель нашей работы: рассмотрение важнейших операций векторного анализа - градиента, ротора, циркуляции и дивергенции, а также наиболее важных теорем векторного анализа - формулы Грина, теоремы Стокса, формулы Остроградского-Гаусса.
|
На уровень вверх
Купить