1. Введение

1.1 Некоторые задачи физики 3

2. Производная

2.1 Скорость изменения функции 6

2.2 Производная функция 7

2.3 Производная степенной функции 8

2.4 Геометрический смысл производной 10

2.5 Дифференцирование функций

2.5.1 Дифференцирование результатов арифметических действий 12

2.5.2 Дифференцирование сложной и обратной функций 13

2.6 Производные параметрически заданных функций 15

3. Дифференциал

3.1 Дифференциал и его геометрический смысл 18

3.2 Свойства дифференциала 21

4. Заключение

4.1 Приложение 1. 26

4.2 Приложение 2. 29

5. Список использованной литературы 32

1.Введение

1.1Некоторые задачи физики. Рассмотрим простые физические явления: прямолинейное движение и линейное распределение массы. Для изучения их вводят соответственно скорость движения и плотность.

Разберем такое явление, как скорость движения и связанные с ним понятия.

Пусть тело совершает прямолинейное движение и нам известно расстояние , проходимое телом за каждое данное время , т. е. нам известно расстояние как функция времени :

Уравнение называется уравнением движения, а определяемая им линия в системе осей - графиком движения.

Рассмотрим движение тела в течение интервала времени от некоторого момента до момента . За время тело прошло путь а за время — путь . Значит, за единиц времени оно прошло путь

.

Если движение равномерное, то есть линейная функция :

В этом случае , и отношение показывает, сколько единиц пути приходится на единицу времени ; при этом оно остается постоянным, независящим ни от того, какой момент времени берется, ни от того, какое взято приращение времени . Это постоянное отношение называют скоростью равномерного движения.

Но если движение неравномерное, то отношение зависит

от , и от . Оно называется средней скоростью движения в интервале времени от до и обозначается через :

В течение этого интервала времени при одном и том же пройденном расстоянии движение может происходить самым различным образом; графически это иллюстрируется тем, что между двумя точками на плоскости (точки на рис. 1) можно провести самые различные линии - графики движений в данном интервале времени, причем всем этим разнообразным движениям соответствует одна и та же средняя скорость .

В частности, между точками проходит прямолинейный отрезок , являющийся графиком равномерного в интервале движения. Значит, средняя скорость показывает, с какой скоростью нужно двигаться равномерно для того, чтобы пройти за этот же интервал времени то же расстояние .

Рис. 1.

Оставляя прежним , уменьшим . Средняя скорость, подсчитанная для измененного интервала , лежащего внутри данного интервала, может быть, разумеется, иной, чем во; всем интервале . Из этого следует, что среднюю скорость

5. Список использованной литературы

1. В.И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 1, изд. 9, «Наука»,1967.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: 1980.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного - М.:1985.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. - М.: 1985. Т.1

5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: 1987.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. - М.: 1970 т. 1, 2.

Примечаний нет.