Введение…………………………………………………………………….……………..3

Глава I……………………………………………………………………….……………..6

Тригонометрические ряды, их свойства………………….…………….………………..6

1.1 Свойства тригонометрического ряда Фурье………..…….…………………………8

1.2 Разложение функций в ряд Фурье………………….….…………………………….9

1.3 Постановка вопроса, интеграл Дирихле……………….…………………….……10

1.4 Сходимость ряда Фурье. Леммы и теоремы………………………………………11

1.5 Интеграл Фурье……….……………………………………………………………...21

Глава II……………………………………………………………………………………29

Периодические решения дифференциальных уравнений. Основной принцип в теории решений ДУ……………………………………………………………………...29

2.1. Отображение за период. Основной принцип……………………………………...29

2.2 Отражающая функция……………………………………………………………….33

Глава III…………………………………………………………………………………..38

Построение периодических решений линейных ДУ…………………………………..38

3.1 Построение систем по данной отражающей функции…………….………………38

3.2 Почти периодические функции и почти периодические решения дифференциальных уравнений………………………………………………………….46

3.3 Построение почти периодических решений линейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с отклоняющимися коэффициентами……...50

Заключение…………………………………………………………………………….....58

Список использованных источников…………………………………………………...59

В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т.е. такими явлениями, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени , называемый периодом. Примером может служить установившееся движение паровой машины, которая по истечении определенного числа оборотов снова проходит через свое начальное положение, затем явление переменного тока и т.п. Различные величины, связанные с рассматриваемым периодическим явлением, по истечении периода возвращаются к своим прежним значениям и представляют, следовательно, периодические функции от времени , характеризуемые равенством .

Простейшей из периодических функций (если не считать постоянной) является синусоидальная величина: , где есть "частота", связанная с периодом соотношением

(1.1)

Из подобных простейших функций могут быть составлены и более сложные. Ясно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, т.к. сложение синусоидальных величин с одной частотой дает снова синусоидальную величину, причем с той же частотой. Возьмем величины вида:

(1.2)

которые, если не считать постоянной, имеют частоты кратные наименьшей из них, , и периоды . При их сложении получится периодическая функция (с периодом ), но уже существенно отличная от величин типа (1.2).

Пример 1. Здесь для примера приведены графики некоторых функций.

Красным цветом выделен график функции

Синим -

Черным -

Как видно из рисунка, функции y3 и y2 сильно отличаются от синусоидальных (y1).

Теперь естественно поставить обратный вопрос: можно ли данную периодическую функцию периода представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин вида (2)? Как мы увидим далее, на этот вопрос можно ответить положительно для очень большого класса периодических функций. Иначе можно себе представлять периодическую функцию как некоторое сложное колебание. Это сложное колебание разлагается на бесконечное число отдельных гармонических колебаний:

(1.3)

причем, , , 1, 2, постоянные числа, имеющие определенные значения для каждой функции, а частота зависит от периода функции по формуле (1.1).

Преобразуем эту формулу. Во-первых, за независимую переменную примем величину , а потом раскроем все выражения вида по формуле суммы синусов, и положим

( 1, 2, 3…)

и получим:

(1.4)

В таком виде и будем рассматривать в дальнейшем тригонометрические ряды.

Важно отметить, что такое разложение часто оказывается очень полезным при исследовании функций как периодических, так и непериодических, но заданных на конечном промежутке.

Поэтому в нашей работе будет рассмотрен вопрос о применении тригонометрических рядов для построения решений линейных дифференциальных уравнений. Основным инструментом исследования будет служить отражающая функция, главное достоинство которой состоит в том, что она для многих неинтегрируемых в квадратурах периодических дифференциальных систем позволяет в явном виде найти отображение Пуанкаре. Это обстоятельство может быть использовано при исследовании периодических решений дифференциальных систем.

1. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Л. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишенев: Штиинца, 1973, 426 с.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, том II, М.: Высшая школа, 1981

3. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М.: Гостехтеоретиздат, 1953. 396 с.

4. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных систем. Гомель: ГГУ, 1985

5. Панков А.А. Ограниченные и почти периодические решения нелинейных дифференциально-операторных уравнений. Киев: Наук. Думка, 1985, 181с.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, том II, М.: Интеграл - Пресс, 2001

7. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения нелинейных интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1989. - Т.25. - №10. - с.1787 - 1798.

8. Рудин У. Основы математического анализа М.: Мир,1966.

9. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, том I, М.: Издательство иностранной литературы, 1953

10. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. M.: Физматгиз,1963

.

Примечаний нет.