|
2.1. Постановка задачи
В этой задаче требуется определить значение определенного интеграла и построить диаграммы подынтегральной функции y = f(x).
Вычислить методом трапеций .
Вычислить методом парабол .
В общем виде определенный интеграл записывается следующим образом
где f(x) - подынтегральная функция,
f(x)dx - подынтегральное выражение,
?, b - нижний и верхний пределы интегрирования.
Как известно, геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он численно равен площади (S) криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), осью Х и прямыми x = a и x = b.
Аналитический способ решения определенных интегралов заключается в определении первообразной для подынтегральной функции и использование формулы Ньютона - Лейбница
где F(x) – первообразная подынтегральной функции.
В случаях, когда найти первообразную подынтегральной функции в виде элементарных функций не представляется возможным или затруднительно, используют приближенные методы. К наиболее распространенным из них относят методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Общим при использовании приближенных методов является разбиение отрезка интегрирования на n равных частей длиной . В зависимости от метода расчета, применяют следующие формулы:
- метод трапеций (1)
- метод парабол (при четном числе шагов n)
(2)
В указанных формулах , и - это значения подынтегральной функции соответственно, при , и .
Если не учитывать погрешность округления, то точность расчета интеграла оценивают, как правило, путем сравнения полученных значений при разном количестве шагов, например,
где - точность расчета при разбиении отрезка на 20 частей.
2.2. Решение задачи методом трапеций
2.2.1. Расчета размера шага интегрирования
Перейдем на новый лист Microsoft Excel, которому присвоим имя Интеграл методом трапеций.
Требуется вычислить определенный интеграл методом трапеций.
Вычислим размеры шагов интегрирования при делении интервала интегрирования на 10, 20, 30 и 40 частей соответственно.
В объединение ячеек А1-В1 введем поясняющий текст Нижний предел интегрирования, а в объединение ячеек А2-В2 – Нижний предел интегрирования.
В ячейки D1, D2 введем значения верхнего и нижнего предела интегрирования 3 и 8 соответственно.
В ячейки А4 и В4 введем Количество частей и Длина 1 части (h).
В ячейки А5 – А8 введем количества частей 10, 20, 30 и 40 соответственно.
Перейдем в ячейку В5 и введем расчетную формулу «=($D$2-$D$1)/A5».
Чтобы получить длины одной части при делении на 20, 30 и 40 частей воспользуемся автозаполнением . Для этого подведем указатель мыши к правому нижнему углу ячейки В5 и когда указатель примет вид черного крестика, растянуть выделение на диапазон ячеек В6 – В8.
При автозаполнении ссылки на исходные ячейки обновляются автоматически.
После проведения расчетов длин 1 части при деление интервала на разное количество частей, получим:
Количество частей Длина 1 части (h)
10 0,5
20 0,25
30 0,166666667
40 0,125
2.2.2. Расчет значений подынтегральной функции при делении интервала на 10, 20, 30 и 40 частей
В объединение ячеек D4-E4 введем заголовок таблицы 10 частей. В ячейки D5, E5 введем заголовки столбцов «x», «f(x)».
|
На уровень вверх
Купить