Задача 1

Для изготовления продукции двух видов А и Б предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.

Наименование ресурсов Норма затрат на Объем

ресурса

Продукт А Продукт В

Сырье (кг) 5 4 441

Оборудование (ст.час.) 3 3 321

Трудоресурсы(чел.час.) 5 4 485

Цена реализации (руб.) 358 338

Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Требуется :

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования.

2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции.

3. Записать задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции.

4. Используя условия "дополняющей нежесткости", найти оптимальное решение двойственной задачи.

5. Привести экономическую интерпретацию переменных и оптимального решения двойственной задачи.

6. Провести графический анализ устойчивости изменения объемов используемых ресурсов. Найти функции предельной полезности ресурсов и построить их графики. Определить функциональную зависимость максимальной выручки объемов используемых ресурсов, построить графики этих функций.

Задача 2.

Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б приведены в таблице:

Наименование ресурсов Норма затрат на Объем

ресурса

Продукт А Продукт В

Сырье (кг) 2 1 520

Оборудование (ст.час.) 6 5 1800

Трудоресурсы(чел.час.) 3 1 ?

Цена реализации (руб.) 1095 520

Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочими с произвольной почасовой ставкой t (руб./чел.-час) оплаты труда.

2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб./чел.-час.

3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и кредита, обеспечивающего ее получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 60 рублей за чел.-час. Найти функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.

Задача 1

Для изготовления продукции двух видов А и Б предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.

Наименование ресурсов Норма затрат на Объем

ресурса

Продукт А Продукт В

Сырье (кг) 5 4 441

Оборудование (ст.час.) 3 3 321

Трудоресурсы(чел.час.) 5 4 485

Цена реализации (руб.) 358 338

Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Требуется :

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования.

2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции.

3. Записать задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции.

4. Используя условия "дополняющей нежесткости", найти оптимальное решение двойственной задачи.

5. Привести экономическую интерпретацию переменных и оптимального решения двойственной задачи.

6. Провести графический анализ устойчивости изменения объемов используемых ресурсов. Найти функции предельной полезности ресурсов и построить их графики. Определить функциональную зависимость максимальной выручки объемов используемых ресурсов, построить графики этих функций.

Решение.

1.1. В нашей задаче необходимо определить месячные объемы выпуска продукции вида А и Б. Обозначим эти объемы как переменные модели:

х1 - месячный объем выпуска продукции А,

х2 - месячный объем выпуска продукции Б.

Используя данные таблицы, получим:

расход сырья = 5х1 +4х2,

затраты времени работы оборудования = 3х1 + 3х2,

затраты рабочего времени = 5х1 + 4х2.

Так как ежемесячный расход ресурсов не может превышать их максимально возможный месячный размер, то имеем ограничения

5х1 + 4х2 441

3х1 + 3х2 321

5х1 + 4х2 485

Еще одно неявное ограничение состоит в том, что переменные х1 и х2 должны быть неотрицательны, т.е. х1 0, х2 0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия. В нашем примере это получение максимальной выручки от реализации произведенной в течении месяца продукции. Если обозначить функцию размера выручки через Z, то

Z = 358х1 + 338х2,

а основная цель предприятия может быть выражена так:

Максимизировать целевую функцию Z= 358х1 + 338х2,

Перепишем это условие в следующей форме: Z = 358х1 + 338х2 max.

Таким образом, математическая модель оптимизации выпуска продукции может быть записана в следующем виде.

Найти неизвестные значения переменных х1 и х2, удовлетворяющие ограничениям

5х1 + 4х2 441

3х1 + 3х2 321

5х1 + 4х2 485

х1 0, х2 0

и доставляющих максимальное значение целевой функции Z = 358х1 + 338х2 max.

Построенная модель является задачей линейного программирования. Любое решение, удовлетворяющее ограничениям модели, называется допустимым, а допустимое решение, доставляющее максимальное значение целевой функции, называется оптимальным.

Примечаний нет.