|
Задание 1.1.
Предприятие выпускает изделия двух видов Aj (j=1,2), при изготовле-нии которых используется сырье I и II. Известны запасы сырья ai0 (i=1,2), и нормы его расхода на единицу изделия, оптовые цены pj за единицу изделия и их себестоимость (единицы изделия) . Составить план выпус-ка изделий, дающий предприятию максимальную прибыль. На сколько изме-нится максимальная прибыль при увеличении ai0 на 10%? Решить графически и методом множителей Лагранжа и объяснить экономический смысл множи-телей Лагранжа.
Сырье Вид изделия Всего
ресурсов
А1 А2
I а11 а12 а10
II а21 а22 а20
Ва-риант a10 a20 a12 a11 а21 a22 P1 P2
1 30 60 5 2 8 11 8 7 6 4 0,10
Решение
Пусть х1 - оптимальный объем выпуска изделий А1, х2 - оптимальный объем выпуска изделий А2, f - максимальная прибыль.
Значения х1 и х2 прежде всего должны удовлетворять балансовым огра-ничениям.
2х1 + 5х2 ? 30,
8х1 + 11х2 ? 60.
По смыслу переменные х1 и х2 должны быть неотрицательными:
х1 ? 0, х2 ? 0.
Составим целевую функцию. С учетом оптовых цен pj за единицу изде-лия (p1=8 и p2=7 ) и себестоимости единицы изделия :
С1 = 6 + 0,1х1 ,
С2 = 4 + 0,1х2 ,
прибыль от реализации продукции вида А1 составит
(8 - (6 + 0,1х1)) = 2 - 0,1х1 ден. ед.,
а прибыль от реализации продукции вида А2 будет равна
(7 - (4 + 0,1х2)) = 3 - 0,1х2 ден. ед.
Таким образом, целевая функция, максимизирующая общую прибыль предприятия, запишется в виде
max f = 2 - 0,1х1 + 3 - 0,1х2 = 5 - 0,1х1 - 0,1х2.
Окончательно экономико-математическая модель задачи примет сле-дующий вид:
max f = 5 - 0,1х1 - 0,1х2;
2х1 + 5х2 ? 30,
8х1 + 11х2 ? 60,
х1 ? 0, х2 ? 0.
В декартовой прямоугольной системе координат х1Ох2 строим гранич-ные прямые 2х1+5х2 = 30 и 8х1+ 11х2 = 60, и определяем полуплоскости, в которых выполняются неравенства системы ограничений.
Для этого возьмём произвольную точку координатной плоскости х1Ох2, например, точку (0;0), подставим её координаты в систему и проверим спра-ведливость полученных числовых неравенств.
Получаем, что неравенства 0?60, 0?30 верны. Пересечение (общая часть) полученных полуплоскостей является многоугольником допустимых реше-ний, см. рис. 1.
Строим градиент-вектор наискорейшего возрастания целевой функции:
= = ( -0,1; -0,1 ).
|
|
Список использованной литературы
1. Воронов М.В., Мещеряков Г.П., "Высшая математика для эконо-мистов и менеджеров", - М.: Феникс, 2005.
2. Григулецкий А.В., "Высшая математика для экономистов", - М.: Феникс, 2004.
3. Красс М.С., "Математика для экономистов", - С.-Пб.: Питер, 2006.
4. Кремер Н.Ш., "Практикум по высшей математике для экономи-стов", - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
5. Замков О.О., "Математические методы в экономике. Учебник", - М.: ДиС, 2004.
6. Шапкин А.С., Мазаева Н.П., "Математические методы и модели исследования операций. Учебник", - М.: Дашков и К, 2005.
|
На уровень вверх
Купить