Контрольная работа по предмету

«Высшая математика»

Задание 1.

Даны два множества: А={4n-3;n?N},B={4n-1;n?N}.

1) Опишите эти множества.

2) Найдите А?В. Запишите полученное множество формулой и опишите словами.

3) Найдите А ? В.

4) Найдите?А???В, если универсальным множеством считать N. Запишите полученное множество формулой и опишите словами……………

Решение

1) Оба множества являются счетными, т.к. существует однозначная связь с множеством натуральных числе. Каждое множество содержит только нечетные натуральные числа

— числа, которые при делении на 4 дают остаток 1: 1,5,9,…

— числа, которые при делении на 4 дают остаток 3: 3,7,11,…

А = (1,5,9,…)

В = (3,7,11,…)

2) — множество нечетных чисел

3) — пустое множество, Множества не пересекаются

4) — множество четных чисел

Задание 2.

Сколькими способами можно выбрать троих человек из 10 кандидатов

1) на три одинаковых должности,

2) на три разных должности.

Решение

1) Состав различных групп должен отличаться по крайней мере хотя бы одним кандидатом и порядок выбора не имеет значения, следовательно, этот вид соединений представляет собой сочетания.

По условию задачи n = 10, k = 3, тогда

2) Количество способов размещения троих человек на три разные должности равно количеству перестановок:

.

Тогда количество способов, которыми можно выбрать троих человек из 10 кандидатов на три разных должности равно произведению:

.

Задание 3.

Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах:

1) замок, 2) ротор, 3) колокол?

Решение

1. Рассчитаем количество перестановок в слове «замок», состоящем из 5 различных букв:

.

2. ротор

3. колокол

Задание 4.

Множество М состоит из букв М = {Д, П, О, А, К}. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из букв этого множества, если:

1. буквы не повторяются,

2. буквы могут повторяться.

В каждом из случаев приведите примеры слов, имеющих смысловое значение и не имеющих его.

Решение

1. Количество различных трехбуквенных слов, которые можно составить из букв этого множества равно числу сочетаний, умноженному на количество перестановок в группе из трех букв или числу размещений:

.

Примеры:

{Д, П, О}, {А, П, О} не имеет смысла,

{К; О; Д}, {Д; О; К} имеет смысл.

2. В каждом слове из предыдущего пункта содержится 3 различные буквы, каждая из которых может повториться 2, 3 раза, при этом образуется новое слово. Из каждого слова путем повторения какой-либо буквы 2 раза можно получить 3 новых слова, поскольку букв 3, то количество новых слов равно 9. А повторения какой-либо буквы 3 раза можно получить 1 новое слово, так как букв 3, то 3 новых слова. Следовательно, количество слов с повторяющимися буквами равно:

.

Поскольку буквы могут повторяться либо не повторяться, то общее количество слов равно:

.

Примеры:

{П, П, О}, {А, П, А} не имеет смысла,

{П; О; П}, {К; О; К} имеет смысл.

Задание 5.

Сколько различных двузначных чисел можно образовать из чисел 0, 1, 2, 3, 4?

Решение

Всего чисел

Но двузначные числа не могут начинаться с 0, тогда

В магазине продают три вида коробок с конфетами. Сколькими способами можно составить набор из 5 коробок?

Задание 7

85 студентов четвертого курса должны записаться на спецкурсы по выбору. Всего открылись три разных спецкурса. На первый из них записались 35 студентов, на второй - 47. Сколько студентов будут посещать третий спецкурс, если известно, что 14 записались на первый и на второй, 27 - на второй и третий, 13 - на первый и третий, а все три спецкурса не будет посещать никто?

Решение

Вычислим сколько студентов будут посещать только первый спецкурс:

.

Только второй спецкурс будут посещать:

.

Только третий спецкурс будут посещать:

. (1)

Количество студентов записавшихся на два курса равно:

.

Тогда количество студентов записавшихся только на один спецкурс равно:

.

И число студентов посещающих только третий курс равно:

. (2)

Сравним (1) и (2) и получим общее число студентов посещающих третий курс:

.

Задание 8.

Решить задачу линейного программирования графическим методом: ,

Решение

Изобразим на рисунке прямые согласно уравнениям, указав штриховкой область значений неравенств:

Получим многоугольник ABCDF. Подставим координаты вершин этого многоугольника в целевую функцию и вычислим значения функции:

, , , , .

Отсюда видно, что максимум соответствует точке С. Решением являются значения:

, . .

Задание 9.

Решить задачу линейного программирования симплексным методом:

Шаг 0

Базис БП x1 x2 x3 x4 x5 z1 z2

x4 1 0 -1 1 1 0 0 0

z1 2 -5 1 1 0 0 1 0

z2 3 -8 1 2 0 -1 0 1

ИС -5M 13M+3 -2M-1 -3M-4 0 M 0 0

Шаг 1

Базис БП x1 x2 x3 x4 x5 z1 z2

x3 1 0 -1 1 1 0 0 0

z1 1 -5 2 0 -1 0 1 0

z2 1 -8 3 0 -2 -1 0 1

ИС -2M+4 13M+3 -5M-5 0 3M+4 M 0 0

Шаг 2

Базис БП x1 x2 x3 x4 x5 z1 z2

x3 4/3 -8/3 0 1 1/3 -1/3 0 1/3

z1 1/3 1/3 0 0 1/3 2/3 1 -2/3

x2 1/3 -8/3 1 0 -2/3 -1/3 0 1/3

ИС -1/3M+17/3 -1/3M-31/3 0 0 -1/3M+2/3 -2/3M-5/3 0 5/3M+5/3

Шаг 3

Базис БП x1 x2 x3 x4 x5 z1 z2

x3 3/2 -5/2 0 1 1/2 0 1/2 0

x5 1/2 1/2 0 0 1/2 1 3/2 -1

x2 1/2 -5/2 1 0 -1/2 0 1/2 0

ИС 13/2 -19/2 0 0 3/2 0 M+5/2 M

Шаг 4

Базис БП x1 x2 x3 x4 x5 z1 z2

x3 4 0 0 1 3 5 8 -5

x1 1 1 0 0 1 2 3 -2

x2 3 0 1 0 2 5 8 -5

ИС 16 0 0 0 11 19 M+31 M-19

Оптимальное решение

Задание 10.

Найдите экстремум функции f (х,у) = х2 + у2 при условии х + у = 1 любым известным способом.

Решение

Функция представляет собой уравнение окружности с центром в точке .

Построим на графике окружность и прямую ограничения .

Уравнение окружности касается прямой в точке , эта точка и является экстремумом. .

Примечаний нет.