Тема 4. Кривые второго порядка

Упражнения

1. Составить уравнение линии центров окружностей, заданных уравнениями

х2+у2-12х+14у+60=0 и х2+у2+8х+16у-1=0.

Приведем уравнения окружностей к стандартному виду:

Центр окружности

Центр окружности

Линию центров найдем по формуле

О1О2:

2. По данному уравнению кривой ху=18 вычислить площадь вписанного в нее прямоугольника, вершины которого являются точками пересечения кривой с прямыми х-у+3=0 и х-у-3=0.

Найдем точки пересечения кривой с прямыми решив совместно системы уравнений:

3. Вычислить длину хорды, образуемой пересечением прямой у=4х с параболой у=3+2х-х2.

Найдем точки пересечения прямой с параболой решив совместно систему уравнений:

По теореме Виета

Следовательно

Длину хорды найдем по формуле

4. Преобразовать уравнение у=(4х-3) / (3х+5) путем параллельного переноса осей, если за новое начало координат принята точка пересечения асимптот кривой. Построить график этого уравнения.

Синяя

Красная

Черная

5. Определить площадь треугольника, вписанного в параболу у=3+2х—х2, если вершина треугольника совпадает с вершиной параболы, а основание лежит на оси Ох.

6. Составить уравнение осей симметрии равносторонней гиперболы, заданной уравнением у=(2х+7) / (х-1).

7. Найти уравнения осей симметрии гиперболы, заданной уравнением

у=(2х-3) / (3х-5).

8. Составить уравнение параболы, проходящей через точки (—5; 0), (—3; —22) и

(1; 6).

Запишем уравнение параболы в виде

И подставим координаты данных точек. Получим систему уравнений

9. Представить на чертеже область, определяемую системой неравенств

а) х2+у2+8х—6у—11?0, б) х2+у2+8х— 6у—11?0,

3х+5у— 3?0, 3х+5у—3?0.

5х— у+23?0; 5х— у +23?0.

А)

Красная сплошная

Красная пунктирная

10. Представить геометрически область, определяемую системой неравенств

а) у?10+3х—х2, б) у?10+3х— х2,

х?0, х?0,

у?0; у?0.

Примечаний нет.