|
Численные методы являются одним из мощных математических средств решения задачи. Простейшие численные методы мы используем всюду, например, извлекая квадратный корень на листке бумаги. Есть задачи, где без достаточно сложных численных методов не удалось бы получить ответа; классический пример — открытие Нептуна по аномалиям движения Урана,
В современной физике таких задач много, Более того, часто требуется выполнить огромное число действий за короткое время, иначе ответ будет не нужен. Например, суточный прогноз погоды должен быть вычислен за несколько часов; коррекцию траектории ракеты надо рассчитать за несколько минут (напомним, что для расчета орбиты Нептуна Леверье потребовалось полгода); режим работы прокатного стана должен исправляться за секунды. Это немыслимо без мощных ЭВМ, выполняющих тысячи или даже миллионы операций в секунду,
Современные численные методы и мощные ЭВМ дали возможность решать такие задачи, о 'которых полвека назад могли только мечтать. Но применять численные методы далеко не просто, Цифровые ЭВМ умеют выполнять только арифметические действия и логические операции, Поэтому помимо разработки математической модели, требуется еще разработка алгоритма, сводящего все вычисления к последовательности арифметических и логических действий. Выбирать модель и алгоритм надо с учетом скорости и объема памяти ЭВМ: чересчур сложная модель может оказаться машине не под силу, а слишком простая — не даст физической точности.
Сам алгоритм и программа для ЭВМ должны быть тщательно проверены. Даже проверка программы нелегка, о чем свидетельствует популярное утверждение: «В любой сколь угодно малой программе есть по меньшей мере одна ошибка», Проверка алгоритма еще более трудна, ибо для сложных алгоритмов не часто удается доказать сходимость классическими методами. Приходится использовать более или менее надежные «экспериментальные» проверки, проводя пробные расчеты на ЭВМ и анализируя их[3].
Строгое математическое обоснование алгоритма редко бывает исчерпывающим исследованием. Например, большинство доказательств сходимости итерационных процессов справедливо только при точном выполнении всех вычислений; практически же число сохраняемых десятичных знаков редко происходит 5 — 6 при «ручных» вычислениях и 10 — 12 при вычислениях 'на ЭВМ. Плохо поддаются теоретическому исследованию «маленькие хитрости»— незначительные на первый взгляд детали алгоритма, сильно влияющие на его эффективность. Поэтому окончательную оценку метода можно дать только после опробования его в практических расчетах.
К чему приводит пренебрежение этими правилами — видно из принципа некомпетентности Питера: «ЭВМ многократно увеличивает некомпетентность вычислителя».
Для сложных задач разработка численных методов и составление программ для ЭВМ очень трудоемки и занимают от несколькихнедель до нескольких лет; Стоимость комплекса отлаженных программ нередко сравнима со стоимостью экспериментальной физической установки. Зато проведение отдельного расчета по такому комплексу много быстрей и дешевле, чем проведение отдельного эксперимента. Такие комплексы позволяют подбирать оптимальные параметры исследуемых конструкций, что не под силу эксперименту,
Однако численное методы не всесильны. Они не отменяют все остальные математические методы. Начиная исследовать проблему, целесообразно использовать простейшие модели, аналитические методы и прикидки. И только разобравшись в основных чертах явления, надо переходить к полной модели и сложным численным методам; даже в этом случае численные методы выгодно применять в комбинации с точными и приближенными аналитическими методами,
'Современный физик или инженер-конструктор для успешной работы должен одинаково хорошо владеть и «классическими» методами, и численными методами математики,
3. История прикладной математики. Раздел математики, имеющий дело с созданием и обоснованием численных алгоритмов для решения сложных задач различных областей науки, часто называют прикладной математикой; американцы применение численных методов к физическим задачам называют вычислительной физикой. Главная задача прикладной математики — фактическое нахождение решения с требуемой точностью; этим она отличается от классической математики, которая основное внимание уделяет исследованию условий существования и свойств решения.
В истории прикладной математики можно выделить три основных периода,
Первый начался 3 — 4 тысячи лет назад. Он был связан с ведением конторских книг, вычислением площадей и объемов, расчетами простейших механизмов; иными словами — с несложными задачами- арифметики, алгебры и геометрии. Вычислительными средствами служили сначала собственные пальцы, а затем— счеты, Исходные данные содержали мало цифр, и большинство выкладок выполнялось точно, без округлений.
Второй период начался с Ньютона. В этот период решались задачи астрономии, геодезии и расчета механических конструкций, сводящиеся либо к обыкновенным - дифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных. Вычисления выполнялись с округлением; нередко от результата требовалась высокая точность, так что приходилось сохранять до 8 значащих цифр.
Вычислительные средства стали разнообразнее: таблицы элементарных функций, затем — арифмометр и логарифмическая линейка; к концу этого периода появились неплохие клавишные машины с электромотором. Но скорость всех этих средств была невелика, и вычисления занимали дни, недели и даже месяцы.
Третий период начался примерно с 1940 г. Военные задачи - например, наводка зенитных орудий на быстро движущийся самолет — требовали недоступных человеку скоростей и привели к разработке электронных систем. Появились электронные вычислительные машины (ЭВМ).
Скорость даже простейших ЭВМ настолько превосходила скорость механических средств, что стало возможным проводить вычисления огромного объема. Это позволило численно решать новые классы задач; например, процессы в сплошных средах, описывающиеся уравнениями в частных производных,
Сначала для решения эти задач использовались численные методы, разработанные в «доэлектронный» период. Но применение ЭВМ быстро привело к переоценке методов. Многие старые методы оказались неподходящими для автоматизированных расчетов. Стали быстро разрабатываться новые методы, ориентированные прямо на ЭВМ (например, метод Монте-Карло).
Мощности ЭВМ быстро растут. Если в 50-е гг. в СССР вступила в строй первая «Стрела» со скоростью 2000 операций в секунду и памятью 1024 ячейки, то сейчас наилучшие современные ЭВМ имеют скорость свыше 30 миллионов операций в секунду при практически неограниченной оперативной памяти с прямой адресацией. Становятся возможными расчеты все более сложных задач. Это служит стимулом для разработки новых численных методов[3].
|
На уровень вверх
Купить