|
Задание № 1
Найти обратную матрицу к матрице А:
Решение.
Найдем матрицу по формуле
= , где – определитель матрицы,
– алгебраическое дополнение к элементу.
– 11
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Обратная матрица имеет вид: = .
Проверим правильность нахождения обратной матрицы:
= =
=
= = = .
Задание № 2.
Решить систему тремя способами
• Матричное уравнение
• Методом Крамера
• Методом Жордана -Гаусса
Решение.
1. Найдем решение системы с помощью формул Крамера. Воспользуемся формулами Крамера:
, , ,
где – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.
= ;
;
Найдем , , .
Получим (6, 1, –2) – решение системы.
2. Решим систему матричным способом. Запишем систему в матричной форме ,
где , , .
Решение системы в матричной форме имеет вид , где – матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле
= , где = 22,
– алгебраическое дополнение к элементу.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Обратная матрица имеет вид: = .
Найдем решение системы.
= = = = .
3. Метод Жордана- Гаусса
Запишем расширенную матрицу системы. С помощью элементарных преобразований.
.
Ранг основной матрицы равен 3 и равен рангу расширенной матрицы и равен количеству неизвестных. Следовательно система совместна и определена.
Решение системы:
Ответ: .
Задание №3.
Вычислить пределы:
а)
Решение.
При подстановке вместо значение 5, получим неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности разложим выражения записанные в числите и знаменатели на множители.
= = =
б) = = = = .
При вычислении предела был использован первый замечательный предел.
в) .
Имеем неопределенность вида . Помножим выражение, стоящее под знаком предела на сопряженное выражение.
= = =
= .
г)
= =
Использовали второй замечательный предел:
Задание №4.
Вычислить производные функций:
а) ; б) ; в) ;
Решение.
а)
= = =
б) ;
= = =
= = .
в) ;
= =
= =
Задание №5.
Найти вертикальные и наклонные асимптоты, точки локального экстремума, определить характер экстремума и построить эскиз графика функции
Решение.
Найдем область определения. .
Функция неопределенна в точках и .
Следовательно, эти точки является точками разрыва функции. Определим их тип.
Найдем односторонние пределы в заданных точках.
= = ; = = ;
= = ; = = ;
и – точки разрыва второго рода.
В этих точке функция имеет вертикальные асимптоты.
Найдем асимптоты к графику функции.
– наклонная асимптота.
= = = 1;
= = = =
= = = –5.
Таким образом наклонная асимптота к графику функции.
Исследуем функцию на монотонность и экстремум.
Найдем производную .
= = =
= = = = .
Вычислим = 0; = 0;
;
, , ,
Данные точки являются критическими точками. Все эти точки разбивают Область определения на промежутки.
Исследуем знак производной на каждом из промежутков.
Составим таблицу.
3
5
+ 0 – не сущ. – 0
возрастает
убывает не сущ убывает 0
Продолжение таблицы
5
7
0 – не сущ. – 0 +
0 убывает не сущ убывает
возрастает
– точка минимума, – точка максимума.
Построим эскиз графика функции.
?
Задание №6.
Найти частные производные
Решение.
а)
,
,
б)
, ,
Задание № 7
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке ;
Решение.
Найдем в этой точке уравнение касательной плоскости
Воспользуемся формулой:
– уравнение касательной плоскости в точке .
Вычислим
;
;
, ,
, – уравнение касательной плоскости.
Составим уравнение нормали:
Вектор нормали:
Задание №8
Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .
Решение.
Найдем вектор градиента функции в точке
.
.
Производная функции в точке, по направлению вектора вычисляется по формуле:
где – угол, образованный вектором с положительным направлением оси .
Для вектора имеем:
;
Следовательно, , значит, функция в направлении убывает.
|
На уровень вверх
Купить