|
Контрольная работа №1
Вариант 3.
Задание 1. Найти пределы функции
Решение.
а) = (Чтобы избавиться от неопределенности, разложим знаменатель дроби на множители) = = .
б) = (Чтобы избавиться от неопределенности , помножим выражение под знаком предела на сопряженное)=
= = = = = .
Задание 2. Найди производные функций
Решение.
Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдем производные данных функций:
а) .
= = = = = =
= .
б) .
= = = = = =
Задание 3. Исследовать функцию и построить график. .
Решение.
1. Найдем область определения функции. .
2. Функция и непрерывна для всех из области определения.
3. .
Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.
4. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью Ох: решая уравнение получим корни х= 0, х= 1. График функции пересекает ось Ох в точках (1; 0), (0; 0),
Осью Оу в точке (0, 0).
5. Исследуем функцию на экстремум и монотонность. Находим производную.
.
. Решим уравнение =0. Получим корни .
Все эти точки разбивают Область определения на промежутки. Исследуем знак производной на каждом из промежутков.
Составим таблицу.
1
+ 0 – 0 +
возрастает 0,15 убывает 1 возрастает
– точка минимума,
– точка максимума,
6. Находим вторую производную.
. Реши уравнение =0. Получим корень
Составим таблицу.
– 0 +
выпукла 0,07 вогнута
точка перегиба.
7. Найдем наклонные асимптоты
;
График функции не имеет асимптот
8. По полученным данным строим график функции.
Задание 4. Вычислить интеграл
Решение
Воспользуемся методом поднесения под знак дифференциала.
= = =
= = = .
Задание 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл
Решение
Построим указанные линии.
Площадь фигуры вычислим по формуле .
Найдем точки пересечения о осью Ох
, ,
Тогда = =
= = . кв.ед.
Ответ: 13 кв. ед.
Задание 6. Вычислить интеграл по формуле прямоугольников
Решение.
Воспользуемся формулой прямоугольников
Вычислим шаг интегрирования
Найдем значения функции
x y
0 1
0,2 0,962
0,4 0,862
0,6 0,735
0,8 0,610
Вычислим интеграл аналитически:
Вычислим погрешность вычислений
Ответ: 0,834
|
На уровень вверх
Купить