13. Найти производную от данной функции.

27. Найти производную сложной функции одной переменной

41. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения данной функции есть вся числовая ось

2. Функция не имеет точек разрыва.

3. Функция нечетная, значит, график функции симметричен относительно начала координат.

4. а) Вертикальных асимптот функция не имеет, так как она непрерывна

б)

Не вертикальная асимптота у=х

5.

в точке , которая есть критической

Исследуем полученную точку по знаку слева и справа от нее

x (-?,0) 0 (0, ?)

y

+ +

6. Найдем

=0 при х и не существует при х=0 и х=-1 (эти точки не могут быть точками перегиба, так как это точки разрыва)

Исследуем эти точки по знаку слева и справа от них

x (-?,- )

-

(- , 0)

0 (0, )

( , +?)

y

+ т. п. - т. п. + т. п. -

7. Используя полученные результаты, строим график функции.

55. Рассчитайте частные производные и полный дифференциал.

Полный дифференциал функции находим по формуле:

Поэтому,

69. Найдите третью производную от данной функции.

83. Найдите первообразную функцию для данной функции методом непосредственного интегрирования.

97. Найдите первообразную функцию для данной функции методом замены переменной.

111. Вычислите неопределенный интеграл методом интегрирования по частям

Интегрируем по частях:

125. Вычислите значение определенного интеграла:

139. Рассчитайте площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

Интегрируем по частях:

153. Найдите общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Интегрируем левую и правую части уравнения.

160. Найдите общее и частное решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Интегрируем левую и правую части уравнения.

Подставим начальные условия

Следовательно,

162. Задачи, приводящие к понятию производной. Физический смысл производной второго порядка. Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям. Применение определенного интеграла к решению задач.

Задачи, приводящие к понятию производной.

К вычислению производной приводят задачи, когда требуется определить скорость изменения одной величины (функции) в зависимости от изменения другой величины (независимой переменной).

Примерами есть простые физические явления: прямолинейное движение и линейное распределение массы

Физический смысл производной второго порядка.

Пусть тело движется прямолинейно по закону

Скорость v движения тела в данный момент t определяется как производная пути по времени .

Если тело движется неравномерно, то скорость с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение . В этом случае величина отношения , показывающая изменение скорости в единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от t до .

Положим, что , тогда а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорением в данный момент t.

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям.

Дифференциалом функции называется произведение производной функции на дифференциал независимой переменной

Отсюда следует, что

Значит приращение функции

Эта формула позволяет по известному значению функции и ее производной в точке х найти приближенное значение функции в точке , близкой к , и тем самым дает возможность использовать дифференциал для приближенных вычислений.

Применение определенного интеграла к решению задач.

1. Если плоская фигура ограниченная прямыми и кривыми и то ее площадь вычисляется по формуле:

2. Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями

То ее площадь вычисляется по одной из трех формул

3. В полярных координатах площадь сектора, ограниченного кривой и лучами , выражается интегралом

4. Объем тела выражается интегралом

, где S(x) – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох.

5. Объем тела вращения, вокруг осей ОХ и ОУ определяется интегралом

6. Длина дуги кривой определяется интегралами:

- при параметрическом задании линий

при задании линии в полярной системе координат

7. Площадь поверхности образованной вращением вокруг оси Ох дуги L кривой, выражается интегралом

8. Работа силы на интервале , выражается интегралом

Примечаний нет.