Вариант 6.

Задание 1. Определить вид кривой и построить ее:

Окружность с центром в и радиусом 5

Задание 2. а) С помощью векторного произведения найти площадь треугольника АВС, если координаты его вершин заданы: A (5,3,-1), В(5,2,0), С(6,4,-1)

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах , . По определению векторного произведения

Тогда,

Поэтому,

Б) С помощью смешанного произведения найти объем тетраэдра А1А2А3А4 c вершинами в точках A1 (0, -1, 1), A2 (-2, 3, 2), A3 (1, -5, -9), A4 (-1, -6, 3)

Объем пирамиды равен модуля смешанного произведения векторов , ,

Найдем смешанное произведение

Таким образом,

Задание 3.

А) Вычислить:

Б) Найти ранг матрицы:

Таким образом ранг матрицы равен 4.

В) Исследовать систему на совместимость:

Найдем определитель матрицы системы

Определитель матрицы не равен нулю, значит, система имеет решение.

Г) Решить систему

Запишем матрицу и расширенную матрицы системы и преобразуем ее к трапециевидному виду:

Таким образом

д) Решить уравнение

Найдем обратную матрицу к матрице

Решение уравнения в матричной форме имеет вид:

Следовательно

Задание 4. Найти пределы функций.

1)

2)

3) Найдем предел по правилу Лопиталя

4) Найдем предел по правилу Лопиталя

Задание 5. Найти производные от следующих функций

1)

2)

3)

4.

5.

Вариант 15.

Задание 1. Определить вид кривой и построить ее:

Имеем уравнение гиперболы

Задание 2. а) С помощью векторного произведения найти площадь треугольника АВС, если координаты его вершин заданы: A (2,-8,-1), В(4,-6,0), С(-2,-5,-1)

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах , . По определению векторного произведения

Тогда,

Поэтому,

Б) С помощью смешанного произведения найти объем тетраэдра А1А2А3А4 c вершинами в точках A1 (1, 1, -1), A2 (2, 3, 1), A3 (3, 2, 1), A4 (5, 9, -8)

Объем пирамиды равен модуля смешанного произведения векторов , ,

Найдем смешанное произведение

Таким образом,

Задание 3.

А) Вычислить:

Разложим определитель по элементам второй строки, а потом полученный определитель по элементам 3 – й строки

Б) Найти ранг матрицы:

Таким образом ранг матрицы равен 3.

В) Исследовать систему на совместимость:

Система не совместна так как ранг матрицы равен 2, а ранг расширенной матрицы равен 3

Г) Решить систему

Запишем матрицу и расширенную матрицы системы и преобразуем ее к трапециевидному виду:

Таким образом

д) Решить уравнение

Найдем обратную матрицу к матрице

Решение уравнения в матричной форме имеет вид:

Следовательно

Задание 4. Найти пределы функций.

1)

2)

3)

4)

Задание 5. Найти производные от следующих функций

1)

2)

3)

4.

5.

Примечаний нет.