Задание 1

1.а)

1.б)

1.в)

2. а)

Парабола ветвями вверх, так как коэффициент при . Поэтому решением неравенства являются области справа от и слева от

Ответ:

2.б)

Парабола ветвями вверх, так как коэффициент при . Поэтому решением неравенства являются области между и

Ответ:

3.

Ответ:

4.а)

4.б)

4.в)

5.

Задание 2

1.в)

1.г)

1.д)

2.б)

2.в)

2.г)

3.б)

- угол наклона касательной

Уравнение касательной

3в)

- угол наклона касательной

Уравнение касательной

3.г)

- угол наклона касательной

Уравнение касательной

4.б)

В точке знак производной меняется с минуса на плюс, поэтому это точка минимума. В точке знак меняется с плюса на минус, поэтому это точка максимума.

4.в)

Производная представляет собой полный квадрат. Корень уравнения - - критическая точка двойной кратности. В точке производная знак не меняет, поэтому экстремума нет.

4.г)

В точке знак производной меняется с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.

5.в)

или или

В точке знак производной меняется с минуса на плюс, поэтому это точка минимума. В точках и знак меняется с плюса на минус, поэтому это точки максимума.

5.г)

В точке знак производной меняется с минуса на плюс, поэтому это точка минимума. В точке знак меняется с плюса на минус, поэтому это точка максимума.

5.ж)

- критическая точка двойной кратности. Экстремума нет.

Задание 3.

1.а)

1 и 3 квадранты.

1.в)

Областью допустимых значений является область, ограниченная окружностью радиуса 5 и центром в начале координат. Точки окружности входят в область допустимых значений, так как неравенство нестрогое.

1.д)

Областью допустимых значений является область, ограниченная окружностью радиуса 4 и центром в начале координат. Точки окружности не входят в область допустимых значений, так как неравенство строгое.

2.б)

2.в)

2.г)

3.а)

3.б)

4.б)

Первые производные функции нескольких переменных равны нулю в точках экстремума.

Значит точки (0;-2/3) и (2;-2/3) – точки экстремума. и

4.в)

Первые производные функции нескольких переменных равны нулю в точках экстремума.

Значит точки (0;0) точка экстремума.

4.г)

Первые производные функции нескольких переменных равны нулю в точках экстремума.

Значит точки (4;4) точка экстремума.

5.а)

имеет максимум, если и A<0 (или B<0)

Значит, функция имеет максимум

5.б)

имеет максимум, если и A<0 (или B<0)

Значит, функция имеет максимум

6.а)

имеет минимум, если и A>0 (или B>0)

Значит, функция имеет минимум

6.б)

имеет минимум, если и A>0 (или B>0)

Значит, функция имеет минимум

7.а)

при

Составим функцию Лагранжа

Имеем

Ответ: (- ;- ) – точка экстремума.

7.в)

при

Составим функцию Лагранжа

Имеем

Ответ: (-1;-1) – точка экстремума.

7.г)

при

Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет 2 решения

9.

тыс. руб.

max

Ответ: Чтобы прирост объема продукции был максимальным, необходимо распределить выделенные денежные ресурсы следующим образом: 90 тыс. руб. на приобретение нового оборудования и 60тыс. руб. на зарплату вновь принятых работников.

10.

Ответ: Чтобы издержки на изготовление были минимальными необходимо изготовлять только товар А или товар В.

Задание 4

1.а)

, с – любое число

1.ж)

1.з)

2.а)

2.б)

2.е)

3.б)

3.в)

4.а) Согласно признаку Даламбера ряд сходится, если предел отношения следующего члена ряда к предыдущему меньше единицы.

ряд сходится.

4.д) Аналогично.

ряд сходится.

Задание 5

1.4)

1.10)

при у(1)=1

Подставляем условие

Подставим найденное значение с в общее решение уравнения

Задание 6.

1.д)

1.з)

1.к)

2.е)

2.ж)

2.л)

3.в)

3.д)

или

3.е)

Ответ:

4в)

ППроверка . Ответ .

4.д)

Проверка

Ответ

4.е)

Проверка

Ответ

5.д)

Метод Гаусса

Ответ ,

5.ж)

Метод Гаусса

Ответ

5.з)

Метод Гаусса

Ответ

6.а)

6.в)

7.в)

7.г)

8.а)

8.д)

выражение уже в тригонометрической форме

8.е)

9.б)

9.в)

9.д)

12.

Направляющий вектор .

Уравнение прямой в пространстве

13.

уравнение данной прямой преобразуем и запишем в каноническом виде.

, ее направляющий вектор (2,-2,1).

Составим уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку М(1,-1,-1).

Аналогично 12. заданию, ее направляющий вектор (1,-1,-1). Чтобы найти угол между этими векторами, воспользуемся формулой скалярного произведения векторов.

14.

Направляющий вектор первой прямой (1,2,3). Чтобы определить координаты направляющего вектора второй прямой , запишем ее уравнение в каноническом виде.

. Направляющий вектор второй прямой (1,1,-1).Чтобы доказать, что эти прямые перпендикулярны. покажем, что их скалярное произведение равно 0.

Действительно, .

Задание 7

4. Пусть событие А – оба включенных элемента неизношенны. Подсчитаем общее число комбинаций n включения любых двух элементов, число комбинаций m включения одновременно двух неизношенных элементов.

; ;

5. Пусть событие А – появление двух черных шаров. Подсчитаем общее число комбинаций n извлечения любых двух шаров, число комбинаций m извлечения одновременно двух черных шаров.

; ;

6. Пусть событие А – появление двух белых шаров. Подсчитаем общее число комбинаций n извлечения любых двух шаров по очереди, число комбинаций m извлечения поочередно двух белых шаров.

; ;

Задание 8

6.

Применим формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

. Тогда, с учетом того, что

- возможная величина потерь.

Возможная величина потерь с 640 га составит га

8.

Средняя ошибка выборки =

Ответ: 28%

Примечаний нет.