|
Задание № 2
Постройте графики функций спроса Q = QD(P)и предложения Q = QS(P) и найдите координаты точки равновесия:
9) QD(P)=(4?P) QS(P)=0,5Р+0,5;
Решение.
Построим графики указанных функций.
Найдем координаты точки равновесия. Решим уравнение.
,
,
,
Точка равновесия имеет координаты: .
Задание №3.
Найдите пределы:
9)
Решение.
При подстановке вместо значение 5, получим неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности разложим выражения записанные в числите и знаменатели на множители.
= = =
Задание №4.
Найдите пределы:
9) ;
Решение.
Имеем неопределенности вида . Поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень числителя и знаменателя: .
= = = =
= = =
Задание №6.
Используя правила вычисления производных, найдите производные
следующих функций:
9) а) ; б) ; в) ;
Решение.
а)
= = =
б) ;
= = =
= = = .
в) ;
= =
Задание №9.
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение числа:
9) ;
Решение.
Заменим дифференциал функции в точке на ее приращение.
При
Рассмотрим функцию:
, ,
.
Найдем производную функции: , .
Задание № 11
Провести полное исследование функции и построить ее график:
9) ;
Решение.
1. Найдем область определения функции. .
2. Функция имеет точку разрыва и непрерывна для всех из области определения.
3. .
Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.
4. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью Ох:
График функции пересекает ось Ох в точках (4; 0), (6; 0).
Осью Оу при график функции пересекает в точке (0; ).
5. Исследуем функцию на экстремум и монотонность. Находим производную.
.
Найдем критические точки из условия
Уравнение не имеет действительных корней
Производная не существует при .
Все эти точки разбивают Область определения на промежутки. Исследуем знак производной на каждом из промежутков.
Составим таблицу.
5
+ не сущ. +
возрастает не сущ возрастает
Функция возрастает на всей области определения.
6. Находим вторую производную.
.
Производная второго порядка не существует при .
Составим таблицу.
5
+ не сущ. –
вогнута не сущ. Выпукла
Точек перегиба нет.
7. Так как точка – точка разрыва второго рода, то прямая – вертикальная асимптота.
Докажем это, исследуя поведение функции вблизи точки .
Найдем наклонные асимптоты
;
–наклонная асимптота.
8. По полученным данным строим график функции.
Задание №12
Решить методом Гаусса следующие системы уравнений:
9)
Решение.
Запишем расширенную матрицу системы. С помощью элементарных преобразований.
.
Ранг основной матрицы равен 3 и равен рангу расширенной матрицы и равен количеству неизвестных. Следовательно система совместна и определена.
Запишем систему линейных уравнений полученную после преобразования матрицы .
.
Ответ: (1, 1, 1).
Задание№14
Разложите вектор по векторам и .
9) , ={2; 1}, ={-3; 4};
Решение.
Если два вектора неколлинеарны, то они образуют базис на плоскости.
Так как координаты векторов и непропорциональны , то и неколлинеарны, а значит, образуют базис. Найдем координаты вектора в этом базисе. Пусть в этом базисе вектор имеет координаты , тогда разложение вектора по векторам и имеет вид: или в координатной форме:
Решим систему.
Значит .
В базисе и вектор имеет координаты .
Задание № 16
Заданы координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения медианы и высоты треугольника, проведенных через вершину В:
Решение.
Найдем уравнение высоты, проведенной через вершину В
Направляющим вектором высоты будем нормальный вектор прямой АС.
Найдем уравнение прямой.
Воспользуемся формулой: прямой проходящей через две точки. Подставим координаты точек и , получим:
. , , – уравнение стороны .
Нормальный вектор прямой АС: .
Составим канонические уравнения прямой
, – уравнение высоты, проведенной из вершины B.
Найдем уравнение медианы.
Так как точка является серединой стороны АС, то ее координаты найдем как координаты середины отрезка.
, . .
. Подставим координаты точек В и М, получим:
. , , – уравнение медианы .
Задание № 18
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М ( ) перпендикулярно вектору , если :
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярной вектору имеет вид:
.
Найдем координаты вектора:
, , – уравнение плоскости.
|
На уровень вверх
Купить