Введение 3

1. Конус 7

2. Шар и сфера 10

3. Поверхности вращения 12

3.1 Образование поверхностей вращения и графическое задание на чертеже 12

3.2 Поверхности вращения второго порядка 16

4. Решение задач 21

4.1 Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла 21

4.2 Решение задач на объем конуса 23

Заключение 24

Список литературы 25

Приложение 1 26

2

Потребность в построении изображений по законам геометрии (проекционных чертежей) возникла из практических задач строительства различных сооружений, крепостных укреплений, пирамид и т. д., а на более позд-нем этапе - из запросов машиностроения и техники. Первые попытки по-строения проекционных изображений относятся к временам до нашей эры. Сохранившиеся остатки величественных сооружений античного мира гово-рят о том, что при их строительстве использовались планы и другие изобра-жения возводимых сооружений. Одним из наиболее древних, дошедших до нас письменных произведений, относящихся к рассматриваемой области, яв-ляется трактат "Десять книг об архитектуре" римского архитектора Марка Витрувия (I в. до нашей эры). В этом произведении применение горизонталь-ных и фронтальных проекций предметов (без проекционной связи между проекциями) дается как нечто уже давно известное. Применяя в рисовании центральную проекцию, Витрувий рассматривал в своих работах первона-чальные задачи, относящиеся к построению перспективных изображений, упоминая при этом, например, "о главных точках" и о "точках зрения".

Расцвет классической культуры в Средние века сменился эпохой застоя. В изобразительном искусстве этого времени не использовались применяв-шиеся в древности сведения о перспективе. Однако все более усложнявшиеся способы обтески камней, возникавшие при строительстве средневековых замков, требовали построения планов и фасадов зданий. Но это были лишь отдельные приемы, не имевшие строго математического обоснования. Тео-рии построения изображений не существовало.

И только с возрождением строительства и искусств в эпоху Ренессанса в истории начертательной геометрии начинается новый период развития. В связи с развернувшимся строительством различных сооружений, в частности, мостов, дорог и пр., возродилось и расширилось применение употреблявшихся в античном мире элементов проекционных изображений.

Хотя художники эпохи Возрождения работали над геометрическим решением отдельных задач теории перспективы, однако они внесли ясность в понимание основ перспективы и подготовили почву для ее математической трактовки, на которую и вступил итальянский ученый Гвидо Убальди (1545-1607), который по праву может считаться основателем теоретической пер-спективы. Работа Убальди "Шесть книг по перспективе" содержит решение почти всех основных задач перспективы.

В 1636 г. французский архитектор и математик Дезарг (1593-1662) в со-чинении "Общий метод изображения предметов в перспективе" впервые применил для построения перспективы метод координат, положив тем самым начало аксонометрическому методу в начертательной геометрии.

В развитии "вольной" перспективы значительную роль сыграли английский математик Тейлор (1685-1731), разработавший способы решения основных позиционных задач и определения затем свойств оригинала по его перспективному изображению, а также немецкий геометр Ламберт (1728-1777), применивший метод перспективы к графическому решению важных задач элементарной геометрии. Рассматривая, в частности, инструменты, уп-рощающие построение перспективы, Ламберт говорит об употреблении пропорционального циркуля. Построение перспективных изображений при бесконечно удаленном центре проектирования Ламберт производит на основании свойств аффинного соответствия. Большое значение Ламберт придавал решению обратной задачи перспективы - задачи реконструкции объекта по чертежу, выполненному в центральной проекции. Работа Ламберта "Freie Perspektive" (1759) содержит принципы, на которых основывается современная фотограмметрия. В 1775 г. появилось сочинение Кзрстена "Lehrbegriff der gesammten Mathematik", в котором автор аналитически изложил теорию прямоугольного проектирования пространственных координатных осей на плоскость. Однако основателем аксонометрического метода считается анг-лийский геометр Фейрич, который в 1820 г. в работе "Isometrical Perspective" изложил теорию изометрических проекций, а также показал их применение в технике.

Применением методов изображения к задачам обтески камней занимал-ся французский инженер Фрезье (1682-1773), разработавший способы по-строения конических сечений по усложненным данным, а также приемы по-строения кривых линий на вогнутых и выпуклых поверхностях с помощью общи" проективных методов.

В развитии начертательной геометрии как науки выдающуюся роль сыграл знаменитый французский геометр и инженер времен Великой французской революции Гаспар Монж (1746-1818). Накопленные знания по теории и практике изображений пространственных предметов на плоскости Монж систематизировал и обобщил, сведя решение разнообразнейших практических вопросов, ставившихся все увеличивающимся ростом капиталистического производства, к рассмотрению небольшого числа основных чисто геометрических задач, решенных им в ортогональных проекциях на две взаимно перпендикулярные плоскости. При этом Монж впервые предложил рассматривать плоский чертеж в двух проекциях, как результат совмещения обеих проекций рассматриваемой фигуры в одной плоскости путем вращения вокруг прямой пересечения плоскостей проекций, получившей впоследствии на-звание "оси проекций".

1. Альтшулер И.С. Краткий курс начертательной геометрии, Минск, 1962.

2. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия, М., 1985.

3. Бубенников А.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия, М., 1973.

4. Вольберг О.А. Лекции по начертательной геометрии, М.-Л., 1947.

5. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия, М., 1981.

6. Четверухин Н.Ф., Левицкий В.С., Прянишникова З.И., Тевлин А.М, Федотов Г.И. Начертательная геометрия, М., 1963.

Примечаний нет.