СОДЕРЖАНИЕ

№1 2

Найдите матрицу D = (2ВА+3СА)

№2 3

Вычислить определитель

D = 1 0 -6 -9

2 2 –3 -4

5 6 -4 -8

№3 3

Решите матричное уравнение

№4 5

При каком значении параметра р ранг матрицы

№5 5

Относительно канонического базиса в R3 даны четыре вектора:

f1(4,2,-1), f2(5,3,-2), f3(3,2,-1), х(4,3,-2). Докажите, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис в R3.

№6 6

Доказать, что система

х1 - 6х3 – 9х4 = 3,

2х1 + 2х2 – 3х3 – 4х4 = 3,

5х1 + 6х2 – 4х3 – 8х4 = 10,

4х1 + 7х2 + 7х3 + 3х4 = 11

имеет единственное решение.

Неизвестное х4 найдите по формулам Крамера.

Решите систему методом Гаусс

№8 10

Дана система линейных однородных уравнений

х1 - 2х2 + 3х3 - 4x4 = 0

2х1 - 4х2 + 5х3 + 7x4 = 0

6х1 – 12х2 +17х3 - 9x4 = 0

Докажите, что система имеет нетривиальное решение.

Найдите общее решение системы.

Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

№9 12

Найдите |r|2, если r = 3а - в, |а| = 2, |в| = 5, (а, в) = 1200.

№10 13

Даны три вершины параллелограмма:

А(0,1,2); В(3,5,2); С(5,1,2).

Найдите длину высоты параллелограмма, опущенной на АВ.

№11 14

Линейный оператор А действует в R3 -> R3 по закону

Ах = (2х1 + 3х3, 10х1 - 3x2 - 6х3, -х1 - 2х3),

где х(х1,х2,х3) - произвольный вектор.

Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе.

Докажите, что вектор х(1,8,-1) является собственным для матрицы А.

Найдите собственное число ?0, соответствующее вектору х.

Найдите другие собственные числа, отличные от ?0.

Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.

№1

Найдите матрицу D = (2ВА+3СА), если

В = 1 -1 0 0 С = 0 2 -2 0

0 -2 1 0 1 0 -1 1

А = 1 2

0 1

-1 0

-1 -2

Решение

ВА = 1 -1 0 0 * 1 2 =

0 -2 1 0 0 1

-1 0

-1 2

= 1 * 1 – 1 * 0 + 0 * (-1) + 0 * (-1) 1 * 2 – 1 * 1 + 0 * 0 + 0 * 2 =

0 * 1 – 2 * 0 + 1 * (-1) + 0 * (-1) 0 * 2 – 2 * 1 + 1 * 0 + 0 * 2

= 1 1

-1 -2

СА = 0 2 -2 0 * 1 2 =

1 0 -1 1 0 1

-1 0

-1 2

= 0 * 1 + 2 * 0 - 2 * (-1) + 0 * (-1) 0 * 2 + 2 * 1 - 2 * 0 + 0 * 2 =

1 * 1 + 0 * 0 - 1 * (-1) + 1 * (-1) 1 * 2 + 0 * 1 - 1 * 0 + 1 * 2

= 2 2

4 4

D = 2ВА+3СА = 2 * 1 1 + 3 * 2 2 = 2 2 + 6 6 = 8 8

-1 -2 1 4 -2 -4 3 12 1 8

№2

Вычислить определитель

D = 1 0 -6 -9

2 2 –3 -4

5 6 -4 -8

Вычислить нельзя, нет еще одной строки четвертой!

№3

Решите матричное уравнение

1 2 -3 4 0 -1

0 1 2 * Х = 11 * 2 1 1

1 0 4 1 3 0

Решение

Пусть уравнение имеет вид: АХ = 11В

А-1 * А * Х = А-1 * 11В

Х = А-1 * 11В

Или Х = 11 А-1 В

Составим матрицу, обратную А.

1 2 -3

? = 0 1 2 = 4 + 4 + 3 = 11

1 0 4

Алгебраическое дополнение:

А11 = 1 2 = 4 А12 = - 0 2 = 2 А13 = 0 1 = -1

0 4 1 4 1 0

А21 = - 2 -3 = -8 А22 = 1 -3 = 7 А23 = - 1 2 = 2

0 4 1 4 1 0

А31 = - 2 -3 = 7 А32 = - 1 -3 = -2 А33 = 1 2 = 1

1 2 0 2 0 1

А-1 = 1 * 4 -8 7

11 2 7 -2

-1 2 1

Тогда

Х = 11 * 1 * 4 -8 7 * 4 0 -1 =

11 2 7 -2 2 1 1

-1 2 1 1 3 0

4 * 4 – 8 * 2 + 7 * 1 4 * 0 – 8 * 1 + 7 * 3 4 * (-1) – 8 * 1 + 7 *0

= 2 * 4 + 7 * 2 – 2 * 1 2 * 0 + 7 * 1 – 2 * 3 2 * (-1) + 7 * 1 – 2 *0 =

-1 * 4 + 2 * 2 + 1 * 1 -1 * 0 + 2 * 1 + 1 * 3 -1*(-1) + 2 *1 + 1*0

7 12 -12

= 20 1 5

1 5 3

То есть решением уравнения является матрица:

7 12 -12

Х = 20 1 5

1 5 3

№4

При каком значении параметра р ранг матрицы

1 - 2 1 -3

А = 2 4 -5 1

8 р -5 1

равен трем?

Решение

Ранг А = 3, значит любой определитель (хотя бы один) третьего порядка должен отличаться от нуля.

1 - 2 -3

2 4 1 = 4 – 16 – 6р + 96 – р + 4 = 88 – 7р ? 0,

8 р 1

значит при р ? 88/7 данный определитель отличен от нуля и ранг А = 3.

№5

Относительно канонического базиса в R3 даны четыре вектора:

f1(4,2,-1), f2(5,3,-2), f3(3,2,-1), х(4,3,-2). Докажите, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис в R3.

Найдите координаты вектора х в новом базисе.

Решение

Смешанные приведенные векторов f1, f2, f3:

4 2 -1

f1, f2, f3 = 5 3 -2 = -12 – 12 – 10 + 9 + 16 + 10 = 1 ? 0,

5 2 -1

следовательно, данные векторы образуют новый базис.

х = ?f1 + ?f2 + ?f3

(4,3,-2) = ?(4,2,-1) + ?(5,3,-2) + ?(3,2,-1).

4 ? + 5 ? + 3 ? = 4

2 ? + 3 ? + 2 ? = 3

- ? - 2 ? - ? = -2 (*2)

+ 2 ? + 3 ? + 2 ? = 3

- 2? - 4 ? - 2 ? = -4

- ? = -1, ? = 1, тогда

4 ? + 3 ? = -1

? + ? = 0, ? = -?

-4 ? + 3 ? = -1

? = 1, ? = -1

? = -1, ? = 1, ? = 1.

Тогда х = -f1 + f2 + f3 – разложение вектора х по базису векторов f1, f2, f3.

№6

Доказать, что система

х1 - 6х3 – 9х4 = 3,

2х1 + 2х2 – 3х3 – 4х4 = 3,

5х1 + 6х2 – 4х3 – 8х4 = 10,

4х1 + 7х2 + 7х3 + 3х4 = 11

имеет единственное решение.

Неизвестное х4 найдите по формулам Крамера.

Решите систему методом Гаусса.

Решение

Определитель системы:

1 0 -6 -9

? = 2 2 -3 -4 = 1 * А11 + 0 * А12 – 6 * А13 – 9 * А14 =

5 6 -4 -8

4 7 7 3

2 -3 -4 2 2 -4 2 2 -3

= (-1)2 * 6 -4 -8 - 6 * (-1) 4* 5 6 -8 - 9 * (-1)5 * 5 6 -4 =

7 7 3 4 7 3 4 7 7

= (-24 + 168 – 168 – 112 + 112 + 54) – 6 (36 – 64 – 140 + 96 + 112 – 30) + 9 (84 – 32 – 105 + 72 + 56 – 70) = 30 – 6 * 10 + 9 * 5 = 30 – 60 + 45 = 15 ? 0.

1 0 -6 3

?х4 = 2 2 -3 3 = 1 * А11 + 0 * А12 – 6 * А13 + 3 * А14 =

5 6 -4 10

4 7 7 11

2 -3 3 2 2 3 2 2 -3

= (-1)2 * 6 -4 10 - 6 * (-1) 4* 5 6 10 + 3 * (-1)5 * 5 6 -4 =

7 7 11 4 7 11 4 7 7

= (-88 – 210 + 126 + 84 – 140 + 198) – 6 * (132 + 80 + 105 – 72 – 140 – 110_ + (-3) * 5 = -30 – 6 * (-5) – 15 = -30 + 30 – 15 = -15 ? 0.

Система имеет единственное решение, так как ? ? 0, х4 = ?х4 / ? = -15 / 15 = -1.

Решение методом Гаусса:

х1 х2 х3 х4 в

1 0 -6 -9 3

2 2 -3 -4 3

5 6 -4 -8 10

4 7 7 3 11

1 0 -6 -9 3

0 2 9 14 -3

0 6 26 37 -5

0 7 31 39 -1

1 0 -6 -9 3

1 4,5 7 -1,5

0 -1 -5 4

0 -0,5 -10 9,5

1 0 -6 -9 3

1 4,5 7 -1,5

1 5 -4

-15 15

Следовательно,

-15х4 = 15, х4 = -1

х3 + 5х4 = -4

х3 = -4 – 5х4 = -4 + 5 = 1

х2 + 4,5х3 +7х4 = -1,5

х2 = -1,5 – 4,5х3 – 7х4 = -1,5 – 4,5 + 7 = 1

х1 – 6х3 – 9х4 = 3

х1 = 3 + 6х3 + 9х4 = 3 + 6 * 1 + 9 * (-1) = 0

х1 =0

х2 = 1

Ответ: х3 = 1

х4 = -1

№7

Дана система линейных уравнений

х1 + х2 – х3 – 2х4 = 2,

2х1 + 3х2 – 2х3 – 5х4 = 4,

х1 – 5х2 – х3 + 4х4 = 2.

Докажите, что система совместна. Найдите ее общее решение.

Найдите частное решение, если х3 = 1, х4 = 1.

Решение

Вычислим ранг А и ранг расширенной матрицы системы А1:

1 1 -1 -2 2

А1 = 2 3 -2 -5 4

1 -5 –1 4 2

Примечаний нет.