Задание 1. Найти пределы функций.

а)

б)

Задание 4. Найти производные функции порядка n:

По формуле Лейбница

Задание 5. Найти частные производные функции:

a)

Б)

Задание 6. Составить уравнение касательной плоскости и производную по направлению функции в точке (1;1)

Уравнение касательной плоскости в точке М0(х0,у0,z0) определяется уравнением:

Найдем направляющие косинусы вектора

Таким образом производная функции по направлению в точке М:

7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

- не принадлежит заданному интервалу

Найдем значение функции в критической точке и на концах интервала

наименьшее значение

наибольшее значение.

8. Найти экстремумы функции

Найдем частные производные

Решим систему уравнений:

стационарная точка

Определим теперь число ? для найденной точки, для чего найдем

Для точки

Поскольку ?<0 то функция в точке экстремума не имеет.

2. Найти условный экстремум функции: , при

Найдем частные производные

Стационарных точек функция не имеет

Определим из данного уравнения у и подставим в выражение функции z

x изменяется на интервалах

Найдем значение функции в критических точках

минимум

максимум

В точках, где производная не существует . функция не определена

10.

1. Область определения данной функции интервал

2. Функция не имеет точек разрыва.

3. Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая.

4. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, так как функция неразрывна в области определения.

б)

не вертикальных асимптот график функции не имеет.

5.

в точках , которая может быть критической

не принадлежит области определения

Исследуем полученную точку по знаку слева и справа от нее

x (-?,- )

( ,-2)

2 (2, ?)

y

max

+ - +

6. Найдем

=0 при ,

не принадлежит области определения

не принадлежит области определения

x (-?,-2) (2, ?)

y

- -

7. Используя полученные результаты, строим график функции.

Задание 11. Вычислить неопределенный интеграл от рациональной функции:

Разложим подынтегральную рациональную дробь, на сумму элементарных дробей, записав схему разложения подынтегральной дроби на элементарные дроби

Освободимся от знаменателей, умножая левую и правую части равенства на

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой части тождества, получим систему уравнений

Подставляя под знак интеграла, полученную сумму элементарных дробей и интегрируя каждое слагаемое отдельно, получим:

12. Вычислить определенныйи нтеграл:

Интегрируем по частях

Сделаем замену

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя параболами:

Найдем координаты точек пересечения линий:

Найдем площадь фигуры, определив ее дифференциал ds как площадь прямоугольника, у которого высота разность ординат парабол а основание dx.

14. Вычислить несобственный интеграл

Інтеграл сходится.

16. Исследовать сходимость числового ряда

Используем признак Коши

Следовательно, ряд сходится

18. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

а) ,

Б)

Находим общий интеграл однородного уравнения :

Характеристическое уравнение:

Имеет корни , поэтому

Для правой части уравнения

Частное решение будем искать в виде

так как 1 есть корень характеристического уравнения

Находим производные:

Подставляя в данное уравнение, получим равенство

так как 1 есть корень характеристического уравнения

Находим производные:

Подставляя в данное уравнение, получим равенство

Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части полученного тождества

Следовательно,

20. Решить систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Продифференцируем по t первое уравнение

и исключив с полученного уравнения и y, получим

Характеристическое уравнение:

Значит, общее решение для х будет:

.

Общее решение для у, находим с первого уравнения:

Таким образом,

Примечаний нет.