|
Вариант 10.
1. В партии 12 изделий. 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 являются дефектными.
Число всевозможных событий равно числу способов, которыми можно взять 4 изделия из 12. Число способов равно числу комбинаций с 12 элементов по 4
2 дефектных изделия из 5 можно взять способами ,
причем остальные два изделия должны быть стандартными
Следовательно, искомая вероятность
2. В магазине выставлены для продажи 26 изделий, среди которых 6 изделий, некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 2 изделия будут некачественными.
Число всевозможных событий равно числу способов, которыми можно взять 2 изделия из 26. Число способов равно числу комбинаций с 26 элементов по 2
2 некачественных изделия из 6 можно взять способами ,
Следовательно, искомая вероятность
3. Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
Х -3 2 3 5
n 0,3 0,4 0,1 0,2
Математическое ожидание Х найдем по формуле
Построим ряд распределения
Х2 9 4 9 25
p 0,3 0,4 0,1 0,2
Найдем математическое ожидание
Дисперсию найдем по формуле
4. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание , , Найти вероятность того, что в результате испытания случайная примет значение в интервале
Воспользуемся формулой
Подставив данные задачи, получим
5. Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным
Х 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30
n 4 6 10 4 6
Относительная частота
0,13 0,2 0,33 0,13 0,2
Плотность частоты
0,065 0,1 0,165 0,065 0,1
Объем выборки
Шаг выборки
6. Решить графическим методом
Заменив знаки неравенств на знаки равенств построим область решений, ограниченную прямыми,. Строим вектор
Красная линия
Зеленая линия
Синяя линия
Коричневая линия
Опорная прямая проходит через точку А – это первая точка пересечения области решений с прямой Z при перемещении этой прямой в положительном направлении вектора . Линейная функция Z в точке А приобретает наименьшее значение.
Найдем координаты точки A, решив систему уравнений
7. Решить симплексным методом
1. Запишем систему ограничений задачи в каноническом виде Для этого перейдем от ограничений-неравенств к строгим уравнениям, введя в левую часть ограничений дополнительные переменные x4, x5 та x6:
.
Каноническую систему ограничений запишем в векторной форме:
где , , , , , ,
Поскольку векторы единичные и линейно независимы, то с них состоит начальный базис в системе векторов. Переменные x4, х5 и x6, которые соответствуют единичным базисным векторам есть базисными, остальные – свободные. Приравнивая свободные переменные нулю с каждого ограничения получаем значения базисных переменных:
Векторная форма записи системы ограничений имеет вид:
По определению
опорный план задачи и для этого плана составим симплекс-таблицу
Базис Сбаз План 1 -3 -2 0 0 0 ?
x1 x2 x3 x4 x5 х6
х4 0 -18 -3 -1 2 1 0 0
х5 0 1 3 -3 1 0 1 0
х6 0 11 1 2 3 0 0 1 11
0 -1 3 2 0 0 0
3. Опорный план проверяем на оптимальность. Для этого рассмотрим элементы оценочной строки. В оценочной строке есть одна отрицательные оценки, значит опорный план не оптимальный и его можно улучшить.
Чтобы определить переменную которая подлежит исключению из текущего базиса, для всех положительных элементов столбика находим отношение і выбираем наименьшее значение , і поэтому с базиса исключаем переменную х6, а разрешающим элементом будет число . Дальнейший переход делаем построением новой симплекс-таблицы элементы которой рассчитываем по методу Жордана—Гаусса.
Вторая симплекс-таблица имеет вид:
Базис Сбаз План 1 -3 -2 0 0 0 ?
x1 x2 x3 x4 x5 х6
х4 0 15 0 5 11 1 0 3
х5 0 -32 0 3 -8 0 1 -3
х1 1 11 1 2 3 0 0 1 11
0 0 5 5 0 0 0
В оценочной строке нет отрицательных оценок, значит мы получили оптимальный план.
8. Решить методом потенциалов транспортную задачу:
Поскольку, ,
то транспортная задача несбалансированная (открытая).
Введем косвенного снабженца
Первый опорный план строим способом двойного перевеса
A B
B1=300 B2=900 B3=600 B4=900 B5=300
A1=300 1 3 4 5 1 0
300
-1 -1 -1 1
A2=600 9 5 2 4 8 3
600
4 2 2 4
A3=900 3 4 5 4 3 5
900
6 4 4 6
A4=600 5 7 2 6 6 7
600
8 6 6 8
A5=300 1 4 3 7 8 8
300
9 7 7 9
A6=300 0 0 0 0 0 -1
0 0 0 0 300
1
-1
-1
-1
1
Первый опорный план транспортной задачи вырождений, так как количество заполненных клеток в таблице поскольку количество заполненных клеток в таблице равно 6 а . Поэтому заполним еще четыре клетки нулевыми перевозками. На основе первого условия оптимальности составим систему уравнений для определения потенциалов плана:
Записанная система уравнений есть неопределенной и одно с решений получим, положив . Тогда другие потенциалы определим однозначно и запишем их в таблицу.
Запишем условные цены в левые углы пустых клеток таблицы и проверим выполнение второго условия оптимальности для этих клеток.
Выбираем ту клетку, в которой наибольшее нарушение оптимальности и строим цикл
A B
B1=300 B2=900 B3=600 B4=900 B5=300
A1=300 1 3 4 5 1 0
300
5 5 5 5
A2=600 9 5 2 4 8 -3
600
2 2 2 2
A3=900 3 4 5 4 3 -1
900
4 4 4 4
A4=600 5 7 2 6 6 1
600
6 6 6 6
A5=300 1 4 3 7 8 -4
300
1 1 1 1
A6=300 0 0 0 0 0 -5
0 0 0 0 300
5
5
5
5
5
A B
B1=300 B2=900 B3=600 B4=900 B5=300
A1=300 1 3 4 5 1 0
300
5 5 5 5
A2=600 9 5 2 4 8 -1
600
4 4 4 4
A3=900 3 4 5 4 3 -1
900
4 4 4 4
A4=600 5 7 2 6 6 -3
600
2 2 2 2
A5=300 1 4 3 7 8 -4
300
1 1 1 1
A6=300 0 0 0 0 0 -5
0 0 0 0 300
5
5
5
5
5
A B
B1=300 B2=900 B3=600 B4=900 B5=300
A1=300 1 3 4 5 1 0
300
1 1 1 1
A2=600 9 5 2 4 8 3
600
4 4 4 4
A3=900 3 4 5 4 3 3
900
4 4 4 4
A4=600 5 7 2 6 6 1
600
2 2 2 3
A5=300 1 4 3 7 8 0
300
1 1 1 1
A6=300 0 0 0 0 0 -1
0 0 0 300 0
1
1
1
1
1
A B
B1=300 B2=900 B3=600 B4=900 B5=300
A1=300 1 3 4 5 1 0
300
1 1 1 1
A2=600 9 5 2 4 8 3
600
4 4 4 4
A3=900 3 4 5 4 3 3
900
4 4 4 4
A4=600 5 7 2 6 6 -1
600
0 0 2 3
A5=300 1 4 3 7 8 0
300
1 1 1 1
A6=300 0 0 0 0 0 -1
0 0 0 300 0
1
1
1
1
1
A B
B1=300 B2=900 B3=600 B4=900 B5=300
A1=300 1 3 4 5 1 0
300
1 1 1 1
A2=600 9 5 2 4 8 1
600
2 2 2 2
A3=900 3 4 5 4 3 4
900
5 5 5 5
A4=600 5 7 2 6 6 5
600
6 6 6 6
A5=300 1 4 3 7 8 0
300
1 1 1 1
A6=300 0 0 0 0 0 -1
0 0 0 300 0
1
1
1
1
1
Мы получили оптимальный план, так как мы получили зацикливание, причем значение целевой функции не изменяется
Оптимальный план
Или
Вариант 22.
1. В партии 20 изделий. 6 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 3 являются дефектными.
Число всевозможных событий равно числу способов, которыми можно взять 4 изделия из 20. Число способов равно числу комбинаций с 20 элементов по 4
3 дефектных изделия из 6 можно взять способами ,
причем остальное изделие должно быть стандартными
Следовательно, искомая вероятность
2. В магазине выставлены для продажи 28 изделий, среди которых 7 изделий, некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 2 изделия будут некачественными.
Число всевозможных событий равно числу способов, которыми можно взять 2 изделия из 28. Число способов равно числу комбинаций с 26 элементов по 2
2 некачественных изделия из 7 можно взять способами ,
Следовательно, искомая вероятность
3. Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
Х 4 5 7 8
n 0,1 0,5 0,2 0,2
Математическое ожидание Х найдем по формуле
Построим ряд распределения
Х2 16 25 49 64
p 0,1 0,5 0,2 0,2
Найдем математическое ожидание
Дисперсию найдем по формуле
4. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание , , Найти вероятность того, что в результате испытания случайная примет значение в интервале
Воспользуемся формулой
Подставив данные задачи, получим
5. Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным
Х 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30
n 3 9 18 14 16
Относительная частота
0,05 0,15 0,3 0,23 0,27
Плотность частоты
0,01 0,03 0,06 0,046 0,054
Объем выборки
Шаг выборки
6. Решить графическим методом
Заменив знаки неравенств на знаки равенств построим область решений, ограниченную прямыми, Имеем многоугольник решений ABЕD. Строим вектор
Красная линия
Зеленая линия
Синяя линия
Коричневая линия
Опорная прямая проходит через точку D – это первая точка пересечения многоугольника решений с прямой Z при перемещении этой прямой в положительном направлении вектора . Линейная функция Z в точке D приобретает наименьшее значение.
Найдем координаты точки D, решив систему уравнений
7. Решить симплексным методом
1. Запишем систему ограничений задачи в каноническом виде Для этого перейдем от ограничений-неравенств к строгим уравнениям, введя в левую часть ограничений дополнительные переменные x4, x5 та x6:
.
Каноническую систему ограничений запишем в векторной форме:
где , , , , , ,
Поскольку векторы единичные и линейно независимы, то с них состоит начальный базис в системе векторов. Переменные x4, х5 и x6, которые соответствуют единичным базисным векторам есть базисными, остальные – свободные. Приравнивая свободные переменные нулю с каждого ограничения получаем значения базисных переменных:
Векторная форма записи системы ограничений имеет вид:
По определению
опорный план задачи и для этого плана составим симплекс-таблицу
Базис Сбаз План 2 2 -3 0 0 0 ?
x1 x2 x3 x4 x5 х6
х4 0 -6 -3 -1 -3 1 0 0
х5 0 4 1 1 1 0 1 0 1
х6 0 4 -3 3 -1 0 0 1
0 -2 -2 3 0 0 0
3. Опорный план проверяем на оптимальность. Для этого рассмотрим элементы оценочной строки. В оценочной строке есть две отрицательных оценки, значит опорный план не оптимальный и его можно улучшить.
Чтобы определить переменную которая подлежит исключению из текущего базиса, для всех положительных элементов столбика находим отношение і выбираем наименьшее значение , і поэтому с базиса исключаем переменную х5, а разрешающим элементом будет число . Дальнейший переход делаем построением новой симплекс-таблицы элементы которой рассчитываем по методу Жордана—Гаусса.
Вторая симплекс-таблица имеет вид:
Базис Сбаз План 2 2 -3 0 0 0 ?
x1 x2 x3 x4 x5 х6
х4 0 6 0 2 0 1 3 0
х1 2 4 1 1 1 0 1 0 1
х6 0 16 0 6 2 0 3 1
0 0 0 5 0 2 0
В оценочной строке нет отрицательных оценок, значит мы получили оптимальный план.
8. Решить методом потенциалов транспортную задачу:
Поскольку, ,
то транспортная задача несбалансированная (открытая).
Введем косвенного снабженца
Первый опорный план строим способом двойного перевеса
A B
B1=150 B2=200 B3=200 B4=400 B5=200
A1=150 1 4 7 2 4 0
150
-1 2 -1 2
A2=300 3 6 3 9 6 4
0 200 100
6 6
A3=250 4 8 12 2 5 0
250
-1 2 -1 2
A4=150 1 5 9 13 7 2
150
4 1 4 4
A5=200 2 3 4 6 5 -1
200
-2 -2 1
A6=100 0 0 0 0 0 -2
0 0 100
-3 3
-1
2
-1
2
2
Первый опорный план транспортной задачи вырождений, так как количество заполненных клеток в таблице поскольку количество заполненных клеток в таблице равно 7 а . Поэтому заполним еще три клетки нулевыми перевозками. На основе первого условия оптимальности составим систему уравнений для определения потенциалов плана:
Записанная система уравнений есть неопределенной и одно с решений получим, положив . Тогда другие потенциалы определим однозначно и запишем их в таблицу.
Запишем условные цены в левые углы пустых клеток таблицы и проверим выполнение второго условия оптимальности для этих клеток. Так как условие оптимальности выполняется, то мы получили оптимальный план.
Оптимальный план
|
На уровень вверх
Купить