|
Вариант 18
1.Найти неопределенный интеграл:
а)
б).
Выделим с подынтегральной неправильной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель:
Разложим подынтегральную рациональную дробь, на сумму элементарных дробей
Избавимся от знаменателей, умножая левую и правую части равенства на
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, в левой и правой части тождества получим систему уравнений
Подставляя в схему разложения, получим:
Таким образом
2. Вычислить определенный интеграл:
Интегрируем по частях:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Найдем площадь фигуры, определив ее дифференциал ds, как площадь прямоугольника, у которого высота – разница абсцисы кривой и оси ординат, а основание dy.
4. Вычислить несобственный интеграл:
5. Исследовать сходимость несобственного интеграла:
Так как функция
является бесконечно малой порядка по сравнению с при , то по частному признаку сравнения интеграл сходится.
6. Решить дифференциальное уравнение первого порядка.
Сделаем замену
Подставляя v во второе уравнение получим:
Значит, искомый интеграл уравнения
7. Решить линейное дифференциальное уравнение.
Характеристическое уравнение однородного уравнения:
Имеет корни , , поэтому общее решение однородного уравнения:
Правая часть уравнения имеет вид и так как корни характеристического уравнения кратности 1, то частное решение будем искать в виде
Подставив найденные выражение в уравнение, получим
Приравняв коэффициенты при одинаковых членах в левой и правой части тождества, получим
Таким образом общее решение данного неоднородного уравнения
8. Исследовать сходимость ряда
Так как все значения принадлежат интервалу , то
исследуем по интегральному признаку
.
Несобственный интеграл сходится, значит сходится и ряд.
Так как ряд сходящийся, значит по признаку сравнения рядов сходится и данный ряд
9. Найти промежуток сходимости степенного ряда:
Применим признак Даламбера
Таким образом интервал сходимости ряда
Исследуем поведение ряда на концах интервала
При , имеем ряд
Первое условие признака Лейбница не выполняется
Значит ряд расходится.
При , имеем ряд расходящийся ряд
Таким образом интервал сходимости ряда
|
На уровень вверх
Купить