|
Понятие группы вошло в историю математики как группы автоморфизмов некоторой алгебраической структуры. В данной дипломной работе мы рассматриваем группы автоморфизмов групп.
Подобно тому, как в общей теории множеств равномощные множества считаются равнозначными, так в теории групп изоморфные группы рассматриваются как несущественно различные. Все понятия и предложения, которые определяются и доказываются на основе соотношений, заданных на некоторой группе, могут быть непосредственно перенесены на любую изоморфную группу. Так даже, если множество, на котором определено произведение, изоморфно некоторой группе, то оно само является группой; при этом изоморфизме единица, обратные элементы и подгруппы переходят в единицу, обратные элементы и подгруппы.
"Если, в частности, группы и совпадают, то мы рассматриваем взаимно однозначное сопоставление элементам группы элементов той же самой группы, сохраняющее соотношения; такое сопоставление называется автоморфизмом" [1].
Автоморфизмы группы до некоторой степени выявляют его свойства симметрии. Это означает, что при известных преобразованиях (отражениях, переносах и т. д.) фигура переходит в себя, при этом заданные соотношения (расстояния, углы, взаимное расположение) сохраняются, или, на нашем языке, фигура допускает автоморфизм относительно своих метрических свойств.
Очевидно, произведение двух автоморфизмов является автоморфизмом, и взятие обратного преобразования по отношению к автоморфизму вновь дает автоморфизм. Отсюда следует, что автоморфизмы произвольного множества (с любыми соотношениями между элементами) образуют группу преобразований - так называемую группу автоморфизмов множества. В частности, автоморфизмы группы вновь составляют группу. При автоморфизмах сохраняются многие свойства групп.
С этим понятием связаны многие группы: голоморф, сплетение, совершенные и характеристические группы.
Цель и задачи дипломной работы. Основной целью работы является изучение групп автоморфизмов конечных групп. Для реализации данной цели были поставлены следующие задачи:
- рассмотреть группы автоморфизмов некоторых видов конечных групп (циклических, элементарных абелевых и др.);
- рассмотреть центральные, внутренние и внешние автоморфизмы группы;
- рассмотреть совершенные группы;
- рассмотреть характеристические подгруппы.
Объектом дипломной работы являются автоморфизмы конечных групп.
Предметом дипломной работы являются свойства автоморфизмов конечных групп, а также свойства подгрупп группы автоморфизмов.
Методами исследования. В настоящей дипломной работе используются методы абстрактной теории групп.
|
На уровень вверх
Купить