Оглавление

Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений 2

Приближённое решение уравнения f(x) = 0 методом деления пополам (методом бисекций). 2

Метод простых итераций. 3

Приближённое решение уравнения методом Ньютона. 4

Задание 5

Ускоренные методы решения нелинейных уравнений 6

Метод Данко 6

?2 - алгоритм Эйткена 7

Алгоритм Вегстейна 7

Задание 8

Решение систем нелинейных уравнений 9

Метод простых итераций 9

Метод Ньютона 10

Задание 11

Методы аппроксимации и интерполяции функций 12

Задание 16

Решение задачи минимизации функции N переменных 17

Метод градиентного спуска 17

Задание 18

В инженерной практике иногда требуется решить алгебраическое уравнение. Существуют методы, алгоритмы, позволяющие эту задачу решить.

Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корень уравнения f(x) = 0. Предположим, что найден отрезок [a,b], такой, что f(a)f(b)<0. Тогда согласно теореме Больцано-Коши внутри отрезка [a,b] существует точка c, в которой значение функции равно нулю, т.е. f(с) = 0, с (a,b). Итерационный метод бисекций состоит в построении последовательности вложенных отрезков.{[an,bn]| [an,bn] [an-1,bn-1] [a,b]}, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти нуль функции f(x) (корень уравнения f(x) = 0) с любой заданной точностью.

Опишем один шаг итераций. Пусть на (n-1)-м шаге найден отрезок [an-1,bn-1] [a,b], такой, что f(an-1)f(bn-1) < 0. Делим его пополам точкой = (an-1 + bn-1)/2 и вычисляем f( ). Если f( ) = 0, то = (an-1 + bn-1)/2 - корень уравнения. Если f( ) 0, то из двух половин отрезка выбираем ту, на концах которой функция имеет противоположные знаки, так как один из корней лежит на этой половине. Таким образом,

an = an-1, bn = , если f( )f(an-1) < 0,

an = , bn = bn-1, если f( )f(an-1) > 0.

Если требуется найти корень с точностью до , то деление пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2 . Тогда координата середины отрезка и есть значение корня с требуемой точностью .

Метод бисекций - простой и надежный метод поиска простого корня (корень x = c называют простым корнем дифференцируемой функции f(x), если f(c) = 0 и f (c) 0) уравнения f(x) = 0. Он сходится для любых непрерывных функций f(x), в том числе и недифференцируемых. Скорость сходимости невелика.

Если на отрезке [a,b] находится несколько корней уравнения f(x) = 0, то процесс сходится к одному из них. Метод неприменим для отыскания кратных корней чётного порядка. В случае корней нечётного порядка он менее точен.

Примечаний нет.