|
Введение. Исследование плоской кривой по ее уравнению
Плоская кривая - кривая, все точки которой лежат в одной плоскости. Существуют следующие аналитические способы задания
плоской кривой: 1) в декартовых координатах: F(x, у) = 0 (в неявном
виде), у = f(x) (в явном виде), х = x(t), у = y(t) (в параметрическом виде); 2) в полярных координатах: .
Все функции F(x, у), f(x), x(t), y(t), мы будем предполагать непрерывными и имеющими производные 1-го, 2-го порядка, а в нужных случаях и высшего порядка по аргументам.
Алгебраической кривой n-го порядка называется кривая, уравнение которой, после освобождения его от дробей и радикалов, записывается в декартовой системе координат в виде:
Число членов равно . Разумеется, в частном случае некоторые коэффициенты не могут быть нулями.
Касательная к кривой в точке (x, y) определяется из уравнения:
,
где , если кривая задана в неявном виде; , если кривая задана в явном виде; и , если кривая задана в параметрическом виде.
Угол касательной к оси абсцисс .
Дифференциал дуги кривой: .
Радиус кривизны определяется из соотношения:
Натуральным уравнением кривой называется уравнение вида:
или .
Регулярной или аналитической функцией, зависящей от переменных x, y, … называют всякую функцию этих переменных, которая вблизи системы значений , , … может быть разложена в ряд Тейлора по степеням разности , , …, сходящийся, пока абсолютные значения этих разностей (в случае их действительных значений) или их модули (в случае их комплексных значений) не превосходят некоторых пределов.
Пусть кривая задается регулярной функцией F(x, y)=0 и левая часть может быть разложена в ряд:
.
Положим, что для , все производные от левой части уравнения кривой до производных порядка (m-1) включительно обращаются в нули, но по крайней мере одна из производных порядка m отлична от нуля; тогда уравнение
,
где символическое произведение заменяем на , определит m значений k (действительных или мнимых), и, следовательно, для рассматриваемой точки кривой определятся m касательных; такая точка кривой называется особой точкой кратности m.
Эволютой, или разверткой, для данной кривой назовем геометрическое место центров ее кривизны; так как центр кривизны является вместе с тем ц
|
На уровень вверх
Купить