|
Введение. Исследование плоской кривой по ее уравнению.
Плоская кривая - кривая, все точки которой лежат в одной плоскости. Существуют следующие аналитические способы задания плоской кривой: 1) в декартовых координатах: F(x, у) = 0 (в неявном виде),
у = f(x)(в явном виде), х = x(t), у = y(t)(в параметрическом виде); 2) в полярных координатах: .
Все функции F(x, у), f(x), x(t), y(t), мы будем предполагать непрерывными и имеющими производные 1-го, 2-го порядка, а в нужных случаях и высшего порядка по аргументам.
Алгебраической кривой n-го порядка называется кривая, уравнение которой, после освобождения его от дробей и радикалов, записывается в декартовой системе координат в виде:
Число членов равно . Разумеется, в частном случае некоторые коэффициенты не могут быть нулями.
Касательная к кривой в точке (x, y) определяется из уравнения:
, где , если кривая задана в неявном виде;
, если кривая задана в явном виде; и
, если кривая задана в параметрическом виде.
Угол касательной к оси абсцисс
Дифференциал дуги кривой: .
Радиус кривизны определяется как
Натуральным уравнением кривой называется уравнение вида:
или .
Регулярной или аналитической функцией, зависящей от переменных x, y, … называют всякую функцию этих переменных, которая вблизи системы значений , , … может быть разложена в ряд Тейлора по степеням разности , , …, сходящийся, пока абсолютные значения этих разностей (в случае их действительных значений) или их модули (в случае их комплексных значений) не превосходят некоторых пределов.
Пусть кривая задается регулярной функцией F(x, y)=0 и левая часть может быть разложена в ряд:
.
Положим, что для , все производные от левой части уравнения кривой до производных порядка (m-1) включительно обращаются в нули, но по крайней мере одна из производных порядка m отлична от нуля; тогда уравнение
, где символическое произведение заменяем на , определит m значений k (действительных или мнимых), и, следовательно, для рассматриваемой точки кривой определятся m касательных; такая точка кривой называется особой точкой кратности m.
Эволютой, или разверткой, для данной кривой назовем геометрическое место центров ее кривизны; так как центр кривизны является вместе с тем центром соприкасающейся окружности, то эволюта будет одновременно и местом центров соприкасающихся окружностей данной кривой. Эволюта также является огибающей нормалей кривой. Если прямая задана параметрически, то уравнение эволюты принимает вид:
.
Пусть нам даны две линии своими уравнениями и предположим, что они имеют общую точку, то есть для некоторого значения х ординаты этих линий равны между собой . Если для общей точки имеет место соотношение , то это указывает на то, что в данной точке кривые имеют общую касательную (прямые касаются в обычном смысле слова) – соприкосновение 1-го порядка. В том случае, когда для выбранной общей точки данных двух линий выполняются сверх условия еще и условия
То две данные линии в их общей точке имеют соприкосновение порядка n.
Подэрой данной кривой относительно какой-либо точки плоскости называется новая кривая, представляющая собой геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из этой точки на касательные к заданной кривой.
Общие сведения о циклоидальных кривых.
Циклоидальная кривая – кривая, являющаяся траекторией точки, жестко связанной с кругом, который катится без скольжения по другому кругу. При образовании циклоидальных кривых вычерчивающая точка отстоит от центра производящего (подвижного) круга на определенном расстоянии.
При условии, что эта точка находиться на окружности производящего круга, получаемые кривые подразделяются на эпициклоиды и гипоциклоиды в зависимости от того, располагается ли производящий круг с наружной или внутренней стороны неподвижного круга
(рис. 1, 2).
Пусть r и R – радиусы катящегося и неподвижного кругов. Поместим начало координат в центр неподвижного круга; будем считать, кроме того, что в исходном положении вычерчивающая точка М совпадала с точкой А, в которой производящий круг касался подвижного (рис. 1, 2). Угол между радиусами, проведен
|
На уровень вверх
Купить