Введение 3

Раздел 1. УРАВНЕНИЕ РИККАТИ

1.1. Существование и единственность решения задачи Коши. Общие свойства уравнения Риккати 5

1.2. Канонический вид уравнения Риккати 8

1.3. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Риккати в квадратурах 11

1.4. Построение общего решения уравнения Риккати, если известно одно его частное решение 13

1.5. Структура общего решения уравнения Риккати 15

1.6. Построение общего решения уравнения Риккати, если известны два или три частных решения 16

1.7. Специальное уравнение Риккати 18

Раздел 2. ОТРАЖАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ

2.1. Определение отражающей функции. Свойства отражающей функции 20

2.2. Отражающая функция уравнения Бернулли 29

2.3. Уравнения Риккати эквивалентные уравнениям Бернулли 36

2.4. Периодические решения уравнения Риккати 43

Заключение 46

Библиография 47

В работах Мироненко В. И. введено и изучено понятие отражающей функции [1]. Различные дифференциальные уравнения могут иметь одну и ту же отражающую функцию. Дифференциальные уравнения, имеющие одну и ту же отражающую функцию, названы эквивалентными уравнениями. Периодические уравнения с одной и той же отражающей функцией имеют одно и то же отображение за период (или, что то же самое отображение Пуанкаре)[2]. Благодаря этому мы имеем возможность устанавливать (изучать) свойства решений одних уравнений, зная свойства решений им эквивалентных решений. Уравнение Риккати[3], как правило, нельзя проинтегрировать в квадратурах, а уравнение Бернулли[3] всегда интегрируется в квадратурах. В данной работе установлены условия, при которых уравнение Риккати имеет такую же отражающую функцию, как и некоторое уравнение Бернулли, а именно доказана

Теорема. Для того, чтобы уравнение Риккати

имело такую же отражающую функцию, как и некоторое уравнение Бернулли

необходимо и достаточно выполнения условий

Используя этот результат, доказано, что в рассматриваемом случае отражающая функция имеет вид

где есть некоторая нечетная дифференцируемая функция и .

Работа состоит из двух разделов. Результаты самостоятельных исследований содержатся трех последних подразделах 2.2, 2.3, 2.4.

Остальные подразделы приведены лишь для полноты изложения самих результатов работы.

1. Мироненко В.И. Отражающие функции и периодические решения дифференциальных систем. Гомель: Изд-во ГГУ, 1985.

2. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

3. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: «Вышэйшая школа», 1974.

Примечаний нет.