|
В теории целых функций одним из важнейших направлений является изучение задач, связанных с характеристикой полюсов и корневых множеств и построением факторизационных представлений различных классов функций. Развитие этого направления началось со ставших классическими факторизационных теорем Вейерштрасса, Адамара и Бореля в теории целых функций конечного порядка, в классических работах Р.Неванлинны и В.И.Смирнова. Эти результаты изложены в хорошо известных монографиях И.И.Привалова [1], М.М.Джрбашяна [2], П. Кусиса [3], Д. Гарнетта [4], У. Хеймана[5]. Помимо того, что результаты, полученные в этой области, представляют самостоятельный интерес, они играют существенную роль в исследовании внутренних проблем комплексного анализа и его приложениях в других разделах математики.
Классы целых и мероморфных функций на конечной плоскости связаны в первую очередь с порядком функции. Напомним, мероморфная в конечной плоскости функция называется функцией конечного порядка , если . Классические теоремы Адамара и Вейерштрасса устанавливают факторизацию целых функций конечного порядка.
Достаточно изученными классами мероморфных в конечной плоскости функций являются классы функций конечного - типа, рассматриваемые А.А.Кондратюком в [6]. Мероморфная функция имеет конечный - тип, если существуют постоянные А и В, при которых при всех . Применяя метод рядов Фурье, А.А.Кондратюк получил полную характеристику корневых множеств целых функций конечного - типа. Однако указанная шкала является довольно грубой для функций бесконечного порядка, в частности, при . В работе [7] Шубабко Е.Н. установлено описание множеств нулей и полюсов, построено параметрическое представление классов мероморфных на конечной плоскости функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит пространству с экспоненциальным весом, а именно удовлетворяющие условию
.
Применение все более широких классов функций в различных научных дисциплинах приводит к необходимости дальнейшего развития аппарата представлений комплексного анализа и поиска новых факторизационных представлений, отвечающих особенностям вновь возникших задач.
Целью настоящей выпускной квалификационной работы является установление свойств корневых множеств и построение факторизационного представления некоторых весовых классов целых функций.
В работе установлено описание множеств нулей и построено факторизационное представление классов целых функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит пространству с экспоненциальным весом.
Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы при чтении спецкурсов по математическому анализу.
Результаты исследования докладывались на студенческой научной конференции.
Работа состоит из введения, двух глав, приложения и замечания. Общий объем работы - . Библиография – наименований.
В первой главе дается обзор теории Иенсена-Неванлинны, а так же приводятся основные теоремы о факторизации целых функций конечного порядка.
Во второй главе нами получено описание корневых множеств и получено факторизационное представления класса с экспоненциальным весом, а именно, установлены следующие теоремы:
Теорема 2.1. Если аналитическая функция принадлежит классу , где , и , то последовательность ее нулей удовлетворяют условию:
.
Теорема 2.2. Пусть - неубывающая последовательность точек, удовлетворяющая условию
,
где . Тогда бесконечное произведение
является аналитической функцией в С, обращается в ноль только в точках последовательности и принадлежит классу , где и если , или при .
Кроме этого, для класса установлено параметрическое представление следующего вида:
Теорема 2.3. Для того чтобы аналитическая функция принадлежала классу необходимо и достаточно, чтоб ее можно было представить в виде
, ,
где - кратность нуля в начале координат, -последовательность точек из , такая что , и
сходится при некотором .
-бесконечное произведение, построенное по нулям , -целая функция, удовлетворяющая условию
.
В приложении рассмотрена возможность применения наших результатов при изучении спецкурса по современным проблемам математического анализа.
|
На уровень вверх
Купить