|
В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебра, имеющей многочисленные применения как в самой математике, так и за ее пределами - в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания. Конечной целью собственно теории групп является описание всех групповых композиций.
Примерами применения групп в алгебре, в математике вообще и в естествознании являются:
1. Группы Галуа;
2. Гомологические группы;
3. Группы симметрий
Указанные примеры иллюстрируют классифицирующую роль теории групп всюду, где речь идет о симметрии. Изучая симметрию, по существу имеют дело с автоморфизмами систем (не обязательно математических), поэтому теория групп незаменима в этих вопросах. Её классифицирующая роль велика и в самой математике - достаточно вспомнить об "Эрлангенской программе" Клейна.
Таким образом, лежащее в фундаменте современной математики понятие группы является весьма равносторонним орудием самой математики - оно используется как важнейшая составная часть ряда сложных алгебраических систем, как чуткий отражатель свойств различных объектов топологии, как испытательный полигон теории алгоритмов и многими иными путями. Вместе с тем группы - это мощный инструмент познания одной из наиболее глубоких закономерностей реального мира - симметрии.
Старейшей и по-прежнему интенсивно развивающейся ветвью теории групп является теория конечных групп. Важное место в ней занимает отыскание конечных простых групп, к которым относятся многие классические группы матриц над конечными полями, несколько серий групп автоморфизмов алгебр Ли, а также отдельные группы. На другом полюсе находятся абелевы, разрешимые, нильпотентные группы.
При изучении абелевых групп важную роль играют полные абелевы группы, абелевы группы без кручения и периодические абелевы группы.
Более широкими по отношению к классу абелевых групп являются классы нильпотентных и разрешимых групп, теория которых также достаточно развита. Из обобщений нильпотентности и разрешимости отметим локальную нильпотентность, локальную разрешимость.
Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Внутренняя симметрия обычно связана с инвариантными свойствами; множество преобразований, которые сохраняют это свойство, вместе с операцией композиции, образуют группу, называемую группой симметрии.
В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Из-за важной роли, которую они играют в этой теории, получили своё название разрешимые группы.
Абелевы группы (т.е. группы, в которых операция коммутативна) являются основой для построения более сложных объектов абстрактной алгебры, таких как кольца, поля и модули.
В алгебраической топологии группы используются для описания инвариантов топологических пространств (отсюда, например, пошло название "подгруппа кручения"). Под инвариантами здесь имеются в виду свойства пространства, не меняющиеся при каком-то его деформировании. Примеры такого использования групп - фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий.
Группы Ли применяются при изучении дифференциальных уравнений и многообразий; они сочетают в себе теорию групп и математический анализ. Область анализа, связанная с этими группами, называется гармоническим анализом.
В комбинаторике понятия группы подстановок и действия группы используются для упрощения подсчёта числа элементов в множестве; в частности, часто используется лемма Бёрнсайда.
Понимание теории групп также очень важно для физики и других естественных наук. В химии группы используются для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. В физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы. Особенно важны в физике представления групп, в частности, групп Ли, так как они часто указывают путь к "возможным" физическим теориям.
Предметом данной выпускной квалификационной работы являются нильпотентные группы.
Объектом - свойства нильпотентных групп.
Целью данной выпускной квалификационной работы является изучение нильпотентных групп и их свойств.
В связи с поставленной целью можно выделить следующие задачи: изучить учебную литературу по данной теме; обобщить и систематизировать информацию по группам; для конкретных групп определить, будут ли они нильпотентными.
В соответствии с указанной целью и задачами данная работа будет иметь следующую структуру: введение, две главы, заключение, приложение, литература.
В первой главе рассматриваются предварительные сведения, которые помогут в понимании темы.
Вторая глава полностью посвящена данной теме.
Приложение представляет собой рассмотрение примеров конкретных групп.
|
На уровень вверх
Купить