Используемые обозначения…………………………………………………………3

Введение……………………………………………………………………………...4

1 Предварительные сведения …..………………………………………………..…6

2 Теоремы Силова и их применение к группам малых порядков ......................18

2.1 Теоремы Силова………………………………………………………..…....18

2.2 Применение теорем Силова к конечным группам порядка .....................26

2.3 Применение теорем Силова к группам порядка ……………….………28

Заключение……………………………………………………………………….…30

Список литературы...……………………………………………………………….31

Приложение…………...…………………………………………………………….33

У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, - это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры - теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.

Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m

Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770-1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент, с которыми он сталкивался, являются рациональными функциями от корней соответствующих уравнений. Чтобы изучить свойства этих функций, он разработал "исчисление сочетаний" (Calcul des Combinaisons).

Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами.

Галуа обнаружил, что если ?1,?2,…,?n - корни уравнения, то всегда существует группа перестановок этих корней такая, что 1) всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, рациональна и, наоборот, 2) всякая рациональная функция от корней инвариантна относительно перестановок группы. Свои первые труды по теории групп он опубликовал в 1829 г., в возрасте 18 лет, но они остались практически незамеченными, пока в 1846 г. не было издано собрание его сочинений.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории (например, теорему Кэли и теорему Коши).

Современное определение понятия "группа" было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком.

В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп, включающая десятки тысяч страниц статей.

Ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.

В данной дипломной работе будут подробно рассмотрены три теоремы Силова, которые были доказаны в 1872 г. норвежским математиком Л. Силовым и до сих пор играют фундаментальную роль в теории конечных групп.

Объектом дипломной работы являются теоремы Силова.

Предметом применение теорем к группам малых порядков.

Целью данной выпускной квалификационной работы является изучение теорем Силова и применение данных теорем к группам малых порядков.

Задачи: изучить учебную литературу по заданной теме, рассмотреть теоремы Силова и изучить применение этих теорем к группам малых порядков. Показать роль теорем Силова в теории конечных групп.

1. Беран, Л. Упорядоченные множества: Пер. с чешск. [Текст]/ Л.Беран; - М.: "Наука", 1981.

2. Босс, В. Лекции по математике. Теория групп. [Текст]/ В.Босс; - М.: "Наука",2007.

3. Бурбаки. Очерки по истории математики. [Текст]/ Бурбаки; - М.: "Иностранная литература", 1963.

4. Варпаховский, Ф.Л. Алгебра. Группы, кольца, поля. Векторные и евклидовы пространства, Линейные отображения. [Текст]/ Ф.Л. Варпаховский, А.С. Солодовников, И.В. Стеллецкий; - М.: "Просвещение", 1978.

5. Каргаполов, М.И. Основы теории групп. [Текст]/ М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков; - М.: "Наука", 1982.

6. Каролинский, Е.А. Сборник задач по теории групп. [Текст]/ Е.А. Каролинский, Б.В. Новиков; - Луганск, 2002.

7. Клейн, Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии. [Текст]/ Ф.Клейн; - М.: Наука, 1989.

8. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Основные структуры. [Текст] / А.И. Кострикин; - М.: "Физматлит", 2001.

9. Курош, А.Г. Теория групп. [Текст] / А.Г. Курош; - СПб.: Изд-во "Лань", 2005.

10. Ляпин, Е.С. Упражнения по теории групп. [Текст]/ Е.С. Ляпин, А.Я. Айзенштат, М.М. Лесохин; - М.: "Наука", 1967.

11. Монахов, В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов: Учебное пособие [Текст]/ В.С. Монахов; - Гомель: УО "ГГУ им Ф. Скорины",2003.

12. Прохоров. 3-е изд. [Текст]/ Прохоров; - М.: "Большая Российская энциклопедия", 1998.

13. Холл, М. Теория групп. [Текст]/ М.Холл; - М.: "Иностранная литература", 1962.

14. Шнеперман, Л.Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях [Текст]/ Л.Б. Шнеперман; - Мк : "Высшая школа", 1987.

Примечаний нет.