|
1. Введение
1.1. Глоссарий
Динамическая система — система, эволюционирующая со временем.
Дискретная динамическая система (далее ДДС) — динамическая система, заданная рекуррентным соотношением. Такое название получила, потому что время — номер члена последовательности — дискретно.
n-я итерация функции F определяется по индукции F1(x) = F(x), Fn+1(x) = F(Fn(x)).
Орбита (траектория или фазовая кривая) точки x* — последовательность {Fn(x*)}.
Точки x0, x1,..., xm-1 образуют цикл длиной (с периодом) m, если x1 = F(x0), x2 = F(x1),..., x0 = F(xm-1) и все элементы различны.
Орбита является в конечном итоге периодической, если xn+m = xn становится справед-ливым только после некоторого конечного числа шагов.
Неподвижная точка — другое название 1-цикла.
Неподвижная точка x* называется устойчивой (притягивающей), если |F'(x*)| < 1 (в этом случае некоторая окрестность x* будет сходиться к x*). Это определение очевид-ным образом переносится на случай циклов.
Логистическое отображение — F(x) = ?x(1 - x).
1.2. Описание предметной области
Динамика большинства реальных процессов описывается дифференциальными урав-нениями. Однако существует ряд биологических видов (многие насекомые, лососевые ры-бы), популяции которых лучше описываются рекуррентными уравнениями. Объясняется это тем, что за время развития очередного поколения предыдущее поколение успевает вы-мереть. Если условия среды остаются постоянными, то численность одного поколения це-ликом определяется численностью предыдущего: xn+1 = F(xn), где F — некоторая функция. Дискретные модели простейших биоценозов позволяют описать такие реальные эффекты, как возникновение циклов динамики численности лимитированных популяций, псевдо-случайное поведение экосистем и др. [3]
Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и опи-сать ее траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые вопро-сы об общем поведении системы:
• есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, то есть может ли она вернуться в на-чальное состояние в ходе эволюции?
• что можно сказать о поведении «типичной» динамической системы из некоторого класса?
• что можно сказать о поведении динамических систем, «близких» к данной?
При изучении ДДС на компьютере на каждой итерации неизбежно появляются ошибки округления, что приводит, вообще говоря, к появлению другой ДДС. Будем назы-вать её компьютерным аналогом ДДС (далее КАДДС). Возникает задача их сравнения в смысле перечисленных вопросов.
В данной работе рассматривается логистическое
|
На уровень вверх
Купить