Оглавление 2

Реферат на тему «Применение ИТ в исследованиях уравнений Навье-Стокса» 3

Введение 3

Глава 1 Критирии завихрений 5

Глава 1.1 Простейший критерий завихрения 5

Глава 1.2 Практические критерии для нахождения завихрений 6

Глава 1.2.1 Метод Моффатта 6

Глава 1.2.2 Метод конечных элементов 9

Глава 1.2.3. Определение присутствия завихрения 12

Глава 1.2.3.1. Определение присутствия завихрения с помошью метода Мофатта 12

Глава 1.2.3.1.1 Антисимметричный поток 13

Глава 1.2.3.1.1 Симметричный поток 14

Глава 1.2.3.2 Выводы 14

Глава 1.2.2 По полю скоростей 15

Глава 1.2.2.1 Нахождение завихрения с помощью метода конечных элементов 16

Глава 2 Сравнение метода конечных элементов и метода Моффатта 17

Заключение 20

Список литературы к реферату. 21

Предметный указатель к реферату. 22

Интернет ресурсы в предметной области исследования. 23

Действующий личный сайт в WWW. 24

Граф научных интересов. 25

Тестовые вопросы по Основам информационных технологий 27

Презентация магистерской диссертации. 28

Список литературы к выпускной работе. 29

Приложения 30

Приложение 1 30

Приложение 2 Слайды презентации 31

Уравне?ния Навье? — Сто?кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Система состоит из двух уравнений:

• уравнения движения,

• уравнения неразрывности.

В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

где — оператор Гамильтона, ? — оператор Лапласа, t — время, ? — коэффициент кинематической вязкости, ? — плотность, p — давление, — векторное поле скоростей, — векторное поле массовых сил. Неизвестные p и являются функциями времени t и координаты , где , — плоская или трёхмерная область, в которой движется жидкость. Обычно в систему уравнений Навье — Стокса добавляют краевые и начальные условия, например:

Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.

При учёте сжимаемости уравнение Навье — Стокса принимает следующий вид:

где ? — коэффициент динамической вязкости (сдвиговая вязкость), ? — «вторая вязкость», или объёмная вязкость, — дельта Кронекера.

В своей работе я исследую феномен завихрения. Завихрение представляет интерес вот почему. Существуют два типа потока жидкости или газа: ламинарный поток и турбулентный. Ламинарный поток с математической точки зрения можно охарактеризовать словом хороший. Ламинарный поток хорош тем, что движение жидкости или газа проходит в нем слоями, без резких и беспорядочных перепадов скорости и давления. Турбулентным потокам, напротив, свойственны резкие перепады давления и резкие изменения скорости частиц жидкости или газа. И поэтому исследовать траекторию движения частиц турбулентного потока бессмысленно: каждая частица будет двигаться по своей траектории, которая не зависит от траекторий соседних частиц. Движение частиц турбулентного потока в какой-то мере хаотично. И поэтому описать движение частиц представляется возможным только с помощью теории вероятностей. Поэтому, необходим некий критерий, с помощью которого можно было бы определить, ламинарен поток или нет. Первым признаком возникновения турбулентности является завихрение. Завихрения это как бы переходная стадия от ламинарного потока к турбулентному, и поэтому еще есть возможность описать их, условия их возникновения инструментами, которые применяются для изучения ламинарных потоков. Явление завихренности, есть не что иное, как движение слоя жидкости или газа по замкнутой траектории.

Ниже приведен пример:

Рисунок 1

В рассмотренном примере жидкость с числом Рейнольдса равным 1 двигается по каналу слева направо. Верхняя граница плоская, нижняя задана некой функцией и выглядит как впадина.

Для изучения завихрений я использую два метода: метод конечных элементов и метод Генри Кейта Моффатта. Первый позволяет найти для заданных начальных условий и заданного канала поле скоростей, т.е. вектор скорости в каждой (или в некоторых) точке (точках), а по полю скоростей уже можно определить, есть там завихрение или нет. Второй метод от первого обособлен и является чисто теоретическим результатом. Генри Кейт Моффатт показал, что если жидкость или газ течет вблизи угла, и угол ? 146°, то в какой-то окрестности угла существует бесконечное число завихрений.

[1] Moffatt H. K. 1964 Viscous eddies near a sharp corner. J. Fluid Mech.

[2] Moffatt H. K. 1964 Arch. Mech. Stosowanej (in the Press).

[3] Dean W. R. , Montagnon P. E. 1949 Proc. Camb. Phil. Soc. 45, 389.

[4] Lord Rayleigh 1920 Steady motion in a corner of a viscous fluid, Scientific Papers, 6 , 18.

[5] Malevich A. E. , Mityushev V. V. , Adler P. M. 2006 Couette flow in channels with wavy walls

[6] Schlichting H. & Gersten K. 2003 Boundary-Layer Theory. Springer Verlag, 8th ed. 2000. Corr. 2nd printing

[7] V.Girault and P.-A.Raviart 1986 Finite Element Methods for Navier–Stokes equations.Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg - New York

[8] http://ru.wikipedia.org

[9] Конспект курса лекций "Numerik der Navier-Stokes-Gleichungen" apl. Prof. Dr. Friedhelm Schieweck

[10] Schlichting, H., Gersten, K. : Boundary - layer theory, 8 th ed.Springer Verlag 2000. Corr.2 nd printing 2003.

[11] Schmid, P.J., Henningson, D.S. 2001 Stability and transition in shear ?ows.Springer Verlag

[12] Шабат Б.А, Фукс Б.В. 1964, Функции комплексного переменного и некоторые их приложения

Примечаний нет.