Введение…………………………………………………………………………...2

Глава 1. Общие понятия………………………………………………………..3

1.1 Автономная система………………………………………………………..3

1.2 Степени свободы…………………………………………………………...7

Глава 2. Двумерные автономные системы………..………………………….10

2.1 Двумерные линейные системы…………………………………………..10

2.2 Правильные узлы и правильные фокусы……………………………….17

2.3 Центры……………………………………………………………………..23

2.4 Седла………………………………………………………………………28

2.5 Особые точки линейных систем на плоскости…………………………29

Глава 3. Построение фазовых портретов динамических (автономных) сис-тем………………………………………………………………………………33

3.1 Порядок построения фазового портрета линейной динамической (авто-номной) системы………………………………………………………………33

3.2 Примеры построения фазовых портретов простейших динамических (автономных) систем …………………………………………………………35

Заключение……………………………………………………………………….42

Список литературы.…………………………………………………………….43

Системы с одной степенью свободы являются наиболее простыми и изученными среди колебательных систем. Тем не менее, их изучение требует преодоления больших препятствий. На примере этих систем можно познако-миться с основными положениями теории колебаний. Математически такие системы сводятся к двумерным системам дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений

с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре в конце прошло-го столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендик-соном и уточнены Дж. Д. Биркгофом.

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической (автономной) систе-мы на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) - аналити-ческие функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники. Знакомство с теорией таких систем необходимо для будущего математика или физика.

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. [текст]/ Э.Л. Айнс 1939 год. 719 стр.

2. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 2-ое изд. [текст]/ В.И. Арнольд 2000 год. 400 стр.

3. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. [текст]/ В.В. Амелькин 1987 год. 160 стр.

4. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. [текст]/ Ю.Н. Бибиков 1991 год. 303 стр.

5. Горбузов В.Н. Интегралы дифференциальных систем. [текст]/ В.Н. Горбузов 2006год. 450 стр.

6. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифферен-циальных уравнений. 3-е изд. [текст]/ Н.М. Матвеев 1967год. 565 стр.

7. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 4 изд. [текст]/ Л.С. Понтрягин 1974 год. 331 стр.

8. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. [текст]/ К.К. Пономарев 1973 год. 560 стр.

9. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. [текст]/ В.К. Романко 1986 год. 344 стр.

10. Федорюк М.В.Обыкновенные дифференциальные уравнения. 2-е изд. перераб. доп. [текст]/ 1985 год. 450 стр.

11. Федорюк. М.В. Ассимптотические методы для линейных обыкно-венных дифференциальных уравнений. [текст]/ М.В. Федорюк 1999год. 354 стр.

12. Эрроусмит Д.О. Курс обыкновенных дифференциальных уравне-ний. [текст]/ Д.О Эрроусмит 1991 год. 243 стр.

13. Преображенский Н.Р. Интегрирование дифференциальных уравне-ний с помощью степенных рядов. [текст]/ 1991 год.15 стр.

14. Пантелеев А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. МАИ, [текст]/ А.В Пантелее 2000 год. 380 стр.

15. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных урав-нений. [текст]/ Э.А Коддингтон 1958 год. 475 стр.

16. Биркгоф Дж. Д., Динамические системы, [текст]/ Дж. Д. Биркгоф 1941 год.

17. Карташев, А.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и ос-новы вариационного исчисления. [текст]/ А.П.Карташев - 1969 год. 288 стр.

18. Олейник, В.А.. Дифференциальные уравнения, гармонический ана-лиз и их приложения.[текст]/В.А.Олейник, С.А. Садовничий, А.И. Ульянов - 1987 год. 126 стр.

19. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики. [текст]/ А.Н.Тихонов, А.А. Самарский - М.: Наука, 1972.

20. Егоров, С.А Обыкновенные дифференциальные уравнения с прило-жениями. 2 изд.[текст]/ С.А.Егоров - 2005 г. 384 стр.

Примечаний нет.