1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов и .

Вычислить определитель а) разложив его по элементам 1-й строки;

б) разложив его по элементам 2-го столбца; в) получив предварительно нули в первой строке

2. Даны две матрицы A и B. Найти матрицы а) ; б) , в) , г)

Найдем определитель матрицы системы

Найдем алгебраические дополнения:

; ;

; ;

; ;

Обратную матрицу найдем по формуле:

Таким образом,

3. Проверить совместность системы линейных уравнений и в случае совместности решить ее: а) методом Гаусса б) по формулам Крамера в) матричным методом.

1.

2. Найдем определитель матрицы системы

Определитель матрицы не равен нулю, значит, система имеет решение.

Найдем определители ?1, ?2, ?3

По формулах Крамера

2. Определитель матрицы не равен нулю значит матрица имеет обратную

Найдем алгебраические дополнения:

; ;

; ;

; ;

Обратную матрицу найдем по формуле:

Таким образом,

Решение уравнения в матричной форме имеет вид:

Поэтому,

, ,

4. Проверить совместность системы линейных уравнений и в случае совместности решить ее: а) методом Гаусса б) по формулам Крамера

1.

Ранг матрицы и расширенной матрицы равны, значит, система разрешима, причем одна переменная выбирается произвольно

5. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

Найдем определитель матрицы системы

Определитель матрицы не равен нулю, значит, система имеет решение.

Легко видеть, что определители ?1, ?2, ?3 =0

Следовательно, по формулам Крамера

6. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

Найдем определитель матрицы системы

Определитель матрицы не равен нулю, значит, система имеет решение.

Легко видеть, что определители ?1, ?2, ?3 =0

Следовательно, система не имеет решения

1. Используя свойства определителей, вычислить

2. Найти произведение матриц

3. Найти ранг матрицы:

Ранг матрицы равен 2

4. Проверить совместность системы линейных уравнений и в случае совместности решить ее: а) методом Гаусса б) по формулам Крамера в) матричным методом.

1.

Ранг матрицы системы уравнений и расширенной матрицы равны, значит, система имеет решение.

2. Найдем определитель матрицы системы

Определитель матрицы не равен нулю, значит, система имеет решение.

Найдем определители ?1, ?2, ?3

По формулам Крамера

2. Определитель матрицы не равен нулю, значит, матрица имеет обратную

Найдем алгебраические дополнения:

; ;

; ;

; ;

Обратную матрицу найдем по формуле:

Таким образом,

Решение уравнения в матричной форме имеет вид:

Поэтому,

, ,

5. Решить систему линейных уравнений.

Ранги матрицы системы уравнений и расширенной матрицы не равны, значит, система не имеет решения.

1. Даны векторы

Необходимо: а) вычислить смешанное произведение векторов

б) найти модуль векторного произведения векторов

в) вычислить скалярное произведение двух векторов

г) проверить будут ли коллинеарными или ортогональными векторы

д) проверить, будут ли компланарными три вектора

а)

б)

В)

Г)

Векторы коллинеарные.

Д)

Найдем смешанное произведение

Поскольку смешанное произведение векторов равно 0 то векторы компланарны

2. Даны вершины треугольника АВС

А(-2, -3); В(1, 6); С(6, 1)

Найти:

1) Уравнение стороны АВ;

2) Уравнение высоты СН;

3) Уравнение медианы АМ;

4) Точку пересечения медианы АМ и высоты СН

5) Уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно АВ

6). Расстояние от точки С до прямой АВ.

1. Уравнение стороны АВ найдем по формуле:

АВ:

2. Высота СН перпендикулярная прямой АВ. Условие перпендикулярности прямых , Угловой коэффициент прямой АВ значит угловой коэффициент СН

Уравнение высоты СН найдем по уравнению прямой с угловым коэффициентом, которая проходит через точку М(х0,у0):

3. Найдем средину отрезка ВС за формулами

. Таким образом уравнение медианы АM:

4. Точку пересечения медианы АМ и высоты СН найдем решив систему уравнений

.

.

5. Условие параллельности прямых , Угловой коэффициент прямой АВ значит угловой коэффициент параллельной ей прямой

Уравнение искомой прямой ищем по уравнению прямой с угловым коэффициентом, которая проходит через точку М(х0,у0):

6. Длину высоты СН найдем как расстояние от точки С до прямой АВ, по формуле:

АВ: С(6, 1)

3. Составить каноническое уравнение:

а) эллипса

б) гиперболы

в) параболы, Ось симметрии Ох и А(4, -8)

а)

Значить уравнение эллипса:

б)

Значит уравнение гиперболы:

в) Уравнение параболы

Подставив координаты точки параболы получим

Следовательно,

Уравнение параболы

4. Записать уравнение окружности, проходящей через левый фокус гиперболы , и имеющей центр в точке А(0, -3)

Следовательно, фокусы гиперболы

Радиус окружности:

Следовательно, уравнение окружности

5. Построить кривую, заданную уравнением в полярной системе координат

1. Найти производную функции:

2. Найти производную функции:

3. Найти производную функции:

4. Найти производную функции:

5. Найти производную функции:

6. Найти производную функции:

7. Используя метод логарифмического дифференцирования, вычислить производную функции

Прологарифмируем левую и правую части равенства

Используя свойства логарифмов получим

Дифференцируем левую и правую части равенства

8. Провести полное исследование функции и построить ее график.

1. Область определения данной функции есть вся числовая ось, кроме точек х= .

2. Функция при х= имеет бесконечный разрыв.

3. Функция четная, значит график симметричен относительно оси ОУ.

4. а) Вертикальные асимптоты х=0,5 и х=-0,5

б)

не вертикальная асимптота .

5.

в точке , которая есть критической и не существует при х= (но эти точки не могут быть критическими, так как это точки разрыва).

Исследуем полученные точки по знаку слева и справа от них

x (-?,-0,5) -0,5 (-0,5,0) 0 (0,0,5) 0,5 (0,5, ?)

y

+ + max - -

6. Найдем

?0, значит график функции не имеет точек перегиба

Исследуем точки разрыва по знаку слева и справа от них

x (-?,-0,5) -0,5 (-0,5, 0,5) 0,5 (0,5, +?)

y

+ - +

7. Используя полученные результаты строим график функции.

Примечаний нет.