Введение…………………………………………………………………………………...4

Глава І. Пространство квазиполиномов…………………………………………………6

1.1. Пространство квазимногочленов……………………………………………………6

1.1.1.Производная и интеграл от квазимногочлена……………………………………10

1.2.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами…...11

1.2.1. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами…………11

1.3.Уравнение Вронского………………………………………………………………..13

1.3.1.Определитель Вронского………………………………………………………….16

1.4.Вложимые системы………………………………………………………………….18

1.4.1. Определение вложимой системы………………………………………………...18

1.4.2.Необходимое и достаточное условие вложимости дифференциальных систем..................................................................................................................................21

Глава ІІ. Использование квазиполиномов……………………………………………...25

2.1. Использование уравнения Вронского при решении задачи Коши для вложимых систем……………………………………………………………………………………..25

2.2.Интегрирование линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………………………29

2.2.1. Частные случаи решения однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами…………………………………………………………………………29

2.2.2.Метод неопределенных коэффициентов…………………………………………30

2.3.Геометрическая интерпретация решений вложимых дифференциальных систем……………………………………………………………………………………..32

2.3.1. Примеры вложимых систем, имеющих изолированные особые точки, предельные циклы, особые точки сложной структуры………………………………32

2.3.2.Вложимость укороченных систем. Алгебраические траектории вложимых систем……………………………………………………………………………………33

Заключение……………………………………………………………………………….35

Литература………………………………………………………………………………..36

Линейные дифференциальные уравнения представляют собой очень важный раздел учения о дифференциальных уравнениях. Они обладают разработанной стройной теорией, имеющей много точек соприкосновения с теорией алгебраических уравнений. Своеобразны методы интегрирования линейных уравнений (общее решение получается с помощью частных, а не наоборот). Очень важны приложения их в физике, механике, вопросы, связанные с колебаниями, приводят к линейным дифференциальным уравнениям.

Решениями линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами являются так называемые квазимногочлены, поэтому естественно рассмотреть пространство квазимногочленов отдельно. В этой работе им посвящен отдельный параграф. Оказывается, что множество решений не только линейных, но и нелинейных уравнений являются подмножествами пространства квазимногочленов. В частности, одним классом таких уравнений являются введенные в работе Мироненко В. И. вложимые уравнения (системы). В данной работе рассматривается одно из таких уравнений, названное и введенное Мироненко В. И., уравнением Вронского, благодаря тому, что его можно записать через определитель Вронского (вронскиан).

Дипломная работа посвящена изучению квазимногочленов и пространства, которое они образуют. Квазимногочленом над полем действительных чисел называется всякая линейная комбинация простейших многочленов [1]. Приставка "квази", означающая "как будто", свидетельствует о том, что функции такого вида во многих отношениях ведут себя так, как будто они - обычные многочлены. В частности, всякий многочлен является квазимногочленом. Естественно, мы можем рассматривать пространство квазимногочленов не только над полем действительных чисел, но и над полем комплексных.

Множество всех квазимногочленов образует линейное пространство над полем комплексных чисел, так как любая линейная комбинация любых двух квазимногочленов также представляет собой квазимногочлен. По аналогичной причине множество всех действительных квазимногочленов является линейным пространством над полем действительных чисел R.

Линейная комбинация с постоянными коэффициентами и произведение квазимногочленов, а также первообразная и производная от квазимногочлена - снова квазимногочлен.

Квазимногочлены широко применяются в теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, что соответствует возможности с их помощью моделировать различные колебательные процессы, в том числе периодические, затухающие и резонансные.

Целью данной работы является применение квазимногочленов в области дифференциальных уравнений.

Объект исследования: пространство казимногочленов и вложимые системы.

Предмет исследования: вложимые системы.

Задачи: рассмотреть пространство квазимногочленов и его основные свойства, рассмотреть вложимые системы, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, вронскиан и уравнение Вронского.

1. Мироненко, В. И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений [Текст] / В. И. Мироненко. Издательство БГУ им. В. И. Ленина. - Минск: 1981. - 104 с.

2. Школьник, А. Г. Дифференциальные уравнения [Текст] / А. Г. Школьник. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР. - М.: 1963. - 200 с.

3. Мироненко, В. И. Методические указания к курсовым работам по курсу "Дифференциальные уравнения с элементарными решениями"[Текст] / В. И. Мироненко. - Гомель: 1978. - 32 с.

4. Матвеев, Н. М. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов пед. институтов по физ. - мат. Специальностям [Текст] / Н. М .Матвеев. - М.: Просвещение, 1988. - 256 с.

5. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / И. Г. Петровский. - М.: Наука, 1970. - 296 с.

6. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] / Л .С. Понтрягин. - М.: Наука, 1974. - 331 с.

7. Матвеев, Н. М. методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / Н. М. Матвеев. - М.: Высшая школа, 1967. - 565 с.

8. Смирнов, В. И. курс высшей математики [Текст] / В. И. Смирнов. - М.: Наука, 1974. - 336 с.

9. Зайцев, И. Л. Элементы высшей математики: Учебник для техникумов [Текст] / И. Л. Зайцев. - М.: Наука, - 1968. -422 с.

10. Камке, Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка [Текст] / Э. Камке. - М.: Наука, - 1966. - 260 с.

11. Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа: Учебник для ВУЗов [Текст] / А. Ф. Бермант. - М.: Лань, - 2003. - 736 с.

Примечаний нет.