Введение
Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является как бы символом геомет-рии; но он не только символ, он - атом геометрии.
Почему именно треугольник можно считать атомом геометрии? Пото-му что предшествующие понятия - точка, прямая и угол - это неясные и не-осязаемые абстракции вместе со связанным с ними набором теорем и задач. Поэтому сегодня школьная геометрия только тогда может стать интересной и содержательной, только тогда может стать собственно геометрией, когда в ней появляется глубокое и всестороннее изучение треугольника.
Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения - никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.
Значит, изучение школьной геометрии не может осуществляться без глубокого изучения геометрии треугольника; ввиду многообразия треуголь-ника как объекта изучения - а, значит, и источника различных методик его изучения - необходимо подбирать и разрабатывать материал для изучения геометрии замечательных точек треугольника. Причем при подборе этого материала не следует ограничиваться только лишь замечательными точками, предусмотренными в школьной программе Государственным образователь-ным стандартом, такими как центр вписанной окружности (точка пересече-ния биссектрис), центр описанной окружности (точка пересечения середин-ных перпендикуляров), точка пересечения медиан, точка пересечения высот. Но для глубокого проникновения в природу треугольника и постижения его неисчерпаемости необходимо иметь представления как можно о большем числе замечательных точек треугольника. Это совсем не означает, что всем школьникам на уроках геометрии необходимо преподавать материал, на-пример, про точку Ферма или точку Жергонна; но любой школьник должен иметь принципиальную возможность прикоснуться к этому кладезю идей - либо через факультативные занятия, либо самостоятельно.
Помимо неисчерпаемости треугольника как геометрического объекта, необходимо отметить удивительнейшее свойство треугольника как объекта изучения: изучение геометрии треугольника можно начинать с изучения лю-бого его свойства, взяв его за основу; затем методику изучения треугольника можно построить так, чтобы на эту основу нанизывать все остальные свой-ства треугольника. Другими словами, с чего бы ни начинать изучение тре-угольника, всегда можно дойти до любых глубин этой удивительной фигу-ры. Но тогда - как вариант - можно начинать изучение треугольника с изу-чения его замечательных точек.
В виду вышесказанного, в данной дипломной работе заострим внима-ние не столько на том, что есть в любых школьных учебниках по геометрии, сколько на том, чего в них нет - это, прежде всего, замечательные точки тре-угольника, не изучаемые в школе; если же речь пойдет о школьном материа-ле (например, о точке пересечения медиан), то будет показана его связь с ма-териалом, не изучаемым в школе. Чтобы не быть голословным, приведем пример такой связи материалов[16, 26]:
1) Точка пересечения медиан (центроид).
2) Сумма квадратов расстояний от этой точки минимизирует сумму квадратов расстояний до вершин треугольника, а точка Лемуана минимизи-рует сумму квадратов расстояний до сторон.
3) Две замечательные прямые, содержащие центроид: прямая Эйлера и прямая, проходящая через центр вписанной окружности и точку Нагеля.
4) Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответст-венно точки C', A' и B' так, что отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке, то сумма векторов AA'+BB'+CC' равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда A', B' и C' - середины сторон треугольника (доказатель-ство использует теорему Чевы и теорему Паппа о центрах тяжести.
5) Центры окружностей, описанных около шести треугольников, на которые медианы разбивают данный треугольник, лежат на одной.
6) Если точка P пересечения чевиан AA', BB' и CC' треугольника ABC не является ни его центром тяжести, ни ортоцентром, то центры окружно-стей, описанных около шести треугольников AB'P, PB'C, CPA', A'PB, BPC' и C'PA, на которые чевианы разбивают данный треугольник, не лежат на од-ной окружности.
Все вышесказанное обосновывает актуальность разработки темы данного дипломного исследования.
Также, опираясь на вышесказанное, сформулируем цели и задачи на-стоящего дипломного исследования.
Целью настоящего дипломного исследования является адаптация гео-метрического материала о замечательных точках треугольника к преподава-нию в курсе геометрии 8 класса как в рамках школьной программы, так и на факультативных занятиях.
Для достижения этой цели в работе решаются следующие задачи:
1) привести историческую справку об открытиях в области замеча-тельных точек треугольника;
2) изложить геометрический материал по замечательным точкам тре-угольника, как изучаемым, так и не изучаемым в школьном курсе геометрии;
3) привести методику разработки уроков по замечательным точкам треугольника в рамках школьной программы по геометрии за 8 класс;
4) привести методику разработки факультативных занятий по замеча-тельным точкам треугольника, изучение которых не предусмотрено школь-ным курсом геометрии;
5) подобрать задачи для тестовой программу на языке Паскаль, ис-пользуемой в качестве дидактического материала на контрольном уроке по школьному курсу замечательных точек треугольника.
Степень самостоятельности - подбирались задачи таким образом, что-бы результат решения одной задачи как можно чаще использовался при ре-шении последующих задач. Это делалось с той целью, чтобы при решении задач учащиеся чаще повторяли решенные ранее задачи. Также авторской в данной работе является разработка понятий базы знаний и модели усвоения базы знаний применительно к изучению замечательных точек треугольника.
Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.
Первая глава посвящена:
- исторической справке по открытиям в области замечательных точек треугольника;
- изложению теоретического материала и задач с решениями и черте-жами по замечательным точкам треугольника, как изучаемым, так и не изу-чаемым в школьном курсе геометрии.
Вторая глава дипломной работы посвящена адаптации материала пер-вой главы для преподавания в средней школе в рамках школьной программы и на факультативных занятиях, а именно:
- определению целей изучения замечательных точек треугольника в школьном курсе геометрии;
- описанию понятия базы знаний применительно к геометрии замеча-тельных точек треугольника;
- планированию изучения замечательных точек треугольника как на уроках в рамках школьной программы по геометрии в 8 классе с использова-нием учебника Л.С. Атанасяна, так и на факультативных занятиях;
- описанию тестовой программы для контрольного урока по школьной программе изучения замечательных точек треугольника и приведением пол-ного текста тестовых заданий.
В заключении сформулированы выводы по выполнению задач ди-пломной работы, поставленных во введении.
В приложении приведен листинг тестовой программы на языке Пас-каль.
|