Введение 3

Глава 1. Двухмерные линейные системы 4

Глава 2. Автономная система 10

2.1 Понятие автономной системы…………….……………………….10

2.2 Некоторые важные типы поведения автономных систем……….19

Глава 3. Предельный цикл……………………………………….………….21

3.1 Понятие предельного цикла……………………….……………....21

3.2 Метод обнаружения предельных циклов…………….………….25

Глава 4. Примеры…………………………………………………………….31

Заключение 35

Список литературы 36

В России в 20-е годы в Московском университете сформировалась сильная научная школа Л.И.Мандельштама (1879-1944). Интересы этой школы охва-тывали, в частности, радиофизику, оптику, колебательные процессы в систе-мах различной природы. Мандельштам первым пришел к пониманию воз-можности такой дисциплины, как теория нелинейных колебаний, - до этого полагали, что нелинейные явления должны изучаться для каждой конкрет-ной системы отдельно. В конце 20-х годов ученик Мандельштама А.А. Анд-ронов (1901-1952) установил, что адекватным математическим образом пе-риодических автоколебаний являются предельные циклы, введенные Пуан-каре в его качественной теории дифференциальных уравнений. В теории ди-намических систем и дифференциальных уравнений, предельным циклом векторного поля на плоскости или, более общо, на каком-либо двумерном многообразии называется замкнутая (периодическая) траектория этого век-торного поля, в окрестности которой нет других периодических траекторий. Эквивалентным является утверждение, что всякая достаточно близкая к пре-дельному циклу траектория стремится к нему либо в прямом, либо в обрат-ном времени. Как следует из определения, с каждой из сторон предельный цикл является либо отталкивающим, либо притягивающим. Если поведение с обеих сторон одинаково - цикл называется соответственно отталкивающим или притягивающим. Если же с одной стороны происходит притяжение, а с другой отталкивание - говорят о полуустойчивом цикле.

Цель исследования - Целью работы является исследование в дифференци-альных уравнениях предельного цикла и о методе его нахождения.

Методы исследования - В работе применяются методы качественной тео-рии обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. [текст]/ В.И. Арнольд- М.: Наука, 1967

2. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное ис-числение. [текст]/ Л. Э. Эльсгольц - М.: Наука, 1969.

3. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики. [текст]/ А.Н.Тихонов, А.А. Самарский - М.: Наука, 1972.

4. Полянин, А. Д. Методы решения нелинейных уравнений математи-ческой физики и механики. [текст]/ А.Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов - М.: Физматлит, 2005.

5. Олейник, В.А.. Дифференциальные уравнения, гармонический ана-лиз и их приложения.[текст]/В.А.Олейник, С.А. Садовничий, А.И. Ульянов - 1987 год. 126 стр.

6. Андронов, А.С. Качественная теория динамических систем второго порядка. [текст]/ A.C. Андронов - 1966 год. 568 стр.

7. Арнольд, В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 2-ое изд. испр. дополн. [текст]/ В.И.Арнольд- 2000 год. 400 стр.

8. Егоров, С.А Обыкновенные дифференциальные уравнения с прило-жениями. 2 изд.[текст]/ С.А.Егоров - 2005 г. 384 стр.

9. Еругин, Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, изд. 3-е, переработанное и дополненное.[текст]/ Н.П.Еругин-1976 год. стр. 381

10. Пономарев, К. К. Составление дифференциальных уравне-ний.[текст]/ К.К. Пономарев - 1973 год. 560 стр.

11. Карташев, А.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и ос-новы вариационного исчисления. [текст]/ А.П.Карташев - 1969 год. 288 стр.

12. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных урав-нений.[текст]/ Э.А. Коддингтон - 1958 год. 475 стр.

13. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифферен-циальных уравнений. 3-е изд.[текст]/ Н.М. Матвеев - 1967год. 565 стр.

14. Эрроусмит, Д.А. Курс обыкновенных дифференциальных уравне-ний.[текст]/ Д.А. Эрроусмит - 1991 год. 243 стр.

15. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. [текст]/ Э.Л. Айнс - 1939 год. 719 стр.

16. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. [текст]/ В.В. Амелькин - 1987 год. 160 стр.

17. Биркгоф Дж. Д., Динамические системы, [текст]/ Дж. Д. Биркгоф - 1941 год.

18. Федорюк. М.В. Ассимптотические методы для линейных обыкно-венных дифференциальных уравнений. [текст]/ М.В. Федорюк - 1999год. 354 стр.

19. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифферен-циальных уравнений. 3-е изд. [текст]/ Н.М. Матвеев - 1967год. 565 стр.

20. Пантелеев А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. МАИ, [текст]/ А.В Пантелее - 2000 год. 380 стр.

21. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. [текст]/ В.К. Романко - 1986 год. 344 стр.

Примечаний нет.