1. При выражение является неопределенностью вида . Для устранения той неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечной малой при величины и применим формулы второго замечательного предела . Введем подстановку , тогда .

Тогда имеем:

2. а)

Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

2.б)

2.в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно .

3.

1) . Функция определена при всех аргумента х.

2) Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на .

3) Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенства (тогда - четная функция) или (для нечетной функции) для любых х и –х из области определения.

.

Следовательно, функция является нечетной.

4) Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

при .

Разобьем числовую ось на 3 интервала: .

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает, во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку первая производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в точке функция имеет минимум. При переходе через точку первая производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в точке функция имеет максимум.

- точка минимума, - точка максимума.

5) Для определения точки перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную.

при .

Разобьем числовую ось на 4 интервала: .

На первом и третьем интервалах вторая производная отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла, на втором и четвертом , и график является вогнутым. При переходе через критические точки меняет свой знак, поэтому эти точки являются точками перегиба.

6) Функция не имеет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот нет.

Для определения наклонной асимптоты воспользуемся формулами

При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя. Значит, прямая у=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции.

График функции:

Примечаний нет.